（作者：葛惟昆、张天蓉）

量子力学的基本出发点， 就是物质的波粒二象性，由德布罗意公式所表述：

式中h 是量子力学的基石：普朗克常数，p 是物体的动量，l 是相应的物质的波长。德布罗意公式虽然基于猜想，但却是普适的。一个巨大的物体，也会有相应的波长，不过这和个波长接近于零，没有实际意义。

爱因斯坦给与德布罗意的大胆假设极高的评价：“我相信这是我们揭开物理学最难谜题的第一道曙光。”那么这个波到底是什么样的波，它的运动学方程是什么样的呢？薛定谔解决了这个问题，虽然他曾经认为德布罗意的论文“纯属垃圾”。薛定谔在1926年给出了量子力学的基本方程式：薛定谔方程，并成为量子力学的基石。它是一个非相对论的处理微观粒子的波动方程，有两个形式，即非定态（含时间的）

这里 m是粒子质量，第一项是动能算符，第二项是势能。所以薛定谔方程实质上是关于能量的恒等式，或者就是能量守恒的量子力学表达式。由薛定谔方程这样一个二阶微分方程解出的，就是能量的本征函数。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，其在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。描述微观粒子状态的波函数为Ψ（x,y,z,t），质量为m的微观粒子在势场U（x,y,z,t）中运动。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，由薛定谔方程可解出波函数Ψ（x,y,z,t）。

这样解出的波函数有什么物理意义呢？玻恩对波函数给出了概率解释。就是说，由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数U不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成Ψ（x,y,z），称为定态波函数，满足定态薛定谔方程.这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，它是定态能量,Ψ（x,y,z）又称为属于能量本征值E的本征函数。

现在的问题是，这样解出的波函数，当然对应着一种波动，那么它和德布罗意公式给出的波（以波长标示）是一回事吗？德布罗意和薛定谔的两个公式，其物理内涵是一致的吗？一般把德布罗意波称为物质波，因为它解释了粒子作为物质同时也以波的形式存在；而薛定谔方程给出的波，一般称为概率波，基于上面所说的玻恩的概率解释。

实际上，当德拜在1925年向薛定谔介绍德布罗意波的概念时，就已经意识到：如果要当成波处理的话，总该有个波动方程。薛定谔方程就此应运而生。所以从逻辑上说，德布罗意的物质波，和薛定谔波动方程处理的波（后来常被成为概率波）是一脉相承的， 应当是一回事。

现在我们来看，有这个波函数所描述的系统（具体来说一个粒子），是否具有德布罗意方程所定义的波长？

对于光子，非常直截了当：

把光子的动量定义为p = mc（注意，光子没有静止质量，但是有动量），则很容易得到光子的德布罗意公式

对于光子以外的一般粒子。我们来看看伟大的天才狄拉克是如何处理这个问题的。在狄拉克著名的《量子力学原理》一书中，他正是在运动方程关于自由粒子一节（§30）中，引入了德布罗意波的概念，虽然从历史的角度来看，后者的提出并不基于量子力学运动方程。狄拉克认为，“量子力学最深刻也是最基本的应用，就是处理一个仅含一个自由粒子的体系”。这里需要的动力学变量是笛卡尔坐标，x,y,z 和它们的共轭动量 p_x,p_y,p_z。非相对论（粒子速度远小于光速）的哈密顿的表达式是

考虑一个动量的本征态。动量的本征值为p_x, p_y, p_z。对于自由粒子来说，其动量算符和哈密顿是対易的。所以动量的本征态也必然是能量的本征态，即定态，其哈密顿的本征值则为

因此，在狄拉克的相对论性波动方程的框架内，德布罗意波和德布罗意波长都是自然的结果，也就是说，由德布罗意公式表述的物质波，和波动方程给出的概率波，在本质上是一回事。

对自由粒子做简单的非相对论处理，也很简单。如果依旧把薛定谔方程中的哈密

对于 一般情况下的粒子，处于一个非零的势场中，且受到外力的作用，它所对应的就不在是自由粒子的本征函数，但仍然可以用一个波函数Ψ（x,y,z,t）来描述。这时我们可以求解动量的值。

假定波函数代表的是平面波，这也是一个简单的问题，因为平面波波函数的形式和自由粒子是一样的。

根据量子力学原理，任何波函数都可以展开成本征函数的叠加，所以我们只要考虑本征函数就可以了。

具体来看一些简单的系统。 一维无限深势阱是最简单的。 这里根据循环边界条件

即德布罗意公式。

还可以有更多的具体实例来验证这一点。而对于非平面波的薛定谔方程解，表示的是一个波包，没有确切定义的波长，无从与德布罗意公式比较。

（本文转自微信公众号“天舸”，7/7/2019文章，作者：葛惟昆、张天蓉）

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