读《哥德尔定理的证明》（续）

在发布了“读《哥德尔定理的证明》”后，经与行仁的公开讨论，进一步体会到行仁对哥德尔定理的理解确实很深刻，科普文章《哥德尔定理的证明》很成功。感谢他细心地回答我的想法与质疑。

根据行仁介绍，我理解到：

哥德尔定理中的“不可判定”是不能证其真，也不能证其非的意思。这样的命题可能为真也可能是假，只是在系统里用有限化的方法不能判断而已。

因此，“不可判定”应意味着不可能用有限化的方法或有限步骤举出反例。

如果这一理解基本正确，那么目前某些数学难题至少有下面的几种情况与哥德尔定理有关：

1.    类似于哥德巴赫猜想的一类经典数论命题，该类命题的特点是只要在自然数中存在一个反例即可证明其伪。可以断定，这类命题不可能用哥德尔的方法严格证明是“不可判定的”。因为如果自然数中存在该命题的反例，该反例则一定能经有限次尝试找到。如果证明了一个这类命题“不可判定”，即意味该命题在自然数中不存在反例，命题是正确的，这与“不可判定”是矛盾的。对这类问题人们只能说，“迄今尚未找到反例” 或 “还没有被证明”。

2.    类似于策莫罗选择公理、良序定理、佐恩引理的命题，这类命题在能举出例子的情况下都是对的，虽然感觉它正确，但无法正面证明其真。据介绍，策莫罗选择公理在ZF集合公理系统中也是不可判定的，即与ZF集合公理系统相容。真希望了解这一结论是怎么证明的。

将策莫罗选择公理纳入系统，即可以由其推出一系列有意义的结论。例如，利用选择公理可以说明确实存在勒贝格不可测集合，并引起思考：由没有大小的数学点堆垒起来的线、面、体等大于零的测度是如何形成的等深奥问题。

包含了选择公理的新系统中自然蕴含一些新研究方法，如超限归纳法等。

3.    类似于连续统假设的命题，这类命题往往感觉可能是真，但又没有足够信心相信其真。据行仁提供的信息，连续统假设在ZFC集合公理系统中是不可判定的。我感觉这一结论的证明要比证明选择公理不可判定困难，而且更有意义，因为选择公理是不可判定的这一结论是容易理解、容易猜测到的。

既然已严格证明了连续统假设在ZFC集合公理系统中是不可判定的，这无疑会带来两个有趣结果，一个是可以将连续统假设作为新公理加入到ZFC集合公理系统，成为新公理系统ZFC+系统，也可以假设实数集合存在子集，其势小于连续统，却大于可数集合的势。这两种情况可能带来两种不同的有趣结果，而且永远都无法在ZFC集合公理系统中判断它们的是非。

以上2、3两类命题并不存在本质上的区别。

4.    前面1、2和3提到的困难命题都是以简单、合乎通常习惯的描述方式给出的命题。所以这类命题在非数理逻辑的数学教课书中经常以相当正面的形式出现。

而另外一些命题或说法，例如谎言悖论，又如行仁在介绍构造类似谎言悖论的命题在数学上叫“对角线法”时提到：

对角线法的构造的例子是“每一处”都与语义相矛盾，这是谎言悖论在序列表达的具体化。哥德尔实际证明用到“ω-相容的”，也就是说对于每一个自然数z都有矛盾。

这些命题或说法总是令人感到似乎在玩令人头昏的逻辑游戏，有些异类。它们很少在非数理逻辑的数学教课书中出现，或者说人们在尽量避免使用它们。

5.    1982年美国帕里斯、哈林顿、弗里德曼相继在有限组合理论中找到既不能肯定也不能否定的关于自然数的命题。

根据1，相信这些关于自然数的命题，一定不是通过举出个别自然数作为反例就能判定其伪的命题。因此这类命题一定形式很复杂。正如行仁所描述：

美国帕里斯、哈林顿用阿克曼函数这个增长非常快的函数和有限组合理论中的拉姆塞定理构造了不可判定的帕里斯-哈林顿命题。这命题要用到比较多的递归函数理论。这是不可计算的也就是不可判定的。自此以后人们沿着不可计算的路子给出一些很不同的不可判定的命题。

就是说，这些命题已复杂到行仁不愿直接叙述的地步。由于这么复杂，我的确怀疑这些命题内隐藏有谎言性命题的成分。希望我的猜测不对，如果它们真的不隐含谎言性命题，那将是非常有意义的成果，或许利用这些命题能推出更有意义的结论。

以上仍是一个对哥德尔定理仅初有感觉的外行但认真的议论，很多地方的理解不一定正确。无论如何，是行仁的科普使我对此有了兴趣并较认真地思考。再次强调，只读科普文章不可能完全弄懂这样的深奥理论，这不是行仁的写作水平不够。他的文章吸引了这么多人关心并初步了解哥德尔定理，这足够了。

再次感谢行仁。