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样条函数插值拟合

已有 8048 次阅读 2014-3-13 03:43 |个人分类:数学轮子|系统分类:科研笔记| 积分, 拟合, 插值, 样条

样条函数插值拟合
2014–02–11 09:26:49

在拟合势能函数的时候, 除解析式外, 也可以利用样条函数进行拟合. 样条拟合与其插值正好相反: 已知函数在节点上的值求任意位置的值, 做插值; 已知函数的某些组合值求函数节点上的值, 属于拟合. 由于样条函数可以化为节点函数值的线性表达式, 这样就可以将待求参数线性化, 得到最优情况下函数的形状, 为寻找合适的解析式提供依据, 当然也可以直接利用得到的离散数据拟合解析式.

样条函数可以是零阶, 一阶, 二阶, 三阶或更高阶. 实际使用中, 三阶使用最为普遍. 由于三次样条的构造需要求解一个三对角线性方程组, 其显式解很难得到, 所以线性化结果很繁琐.

零阶
在每一区间上样条函数为常量, 函数整体呈台阶状. 对等距情况, 计算时最好使用就近原则, 取最近点的值作为拟合点, 可用i=nint(x/dx)实现.
一阶
在每一区间上样条函数为线性函数, 函数整体呈折线状$.$
fi(x)=yi+yi+1−yiΔx(x−xi)
此式自动满足函数值连续条件, 即零阶连续.
二阶
在每一区间上, 样条函数为二次函数, 整体一阶连续, 即有连续的导数. 但仅有节点的函数值不能唯一确定整个函数, 还须提供某一节点上的导数值, 一般可令端点的导数值为零. 二次样条函数在偶数点的曲率不连续. 由二阶开始, 插值函数不再具有局域性, 改变某一节点, 函数整体都会改变. 使得线性系数分离很困难.
fi(x)ki+1=yi+ki(x−xi)+ki+1−ki2Δx(x−xi)2=−ki+2yi+1−yiΔx,ki=2yi+1−yiΔx−ki+1
可化简得
fi(x)α=yi+ki(x−xi)+(yi+1−yi−kiΔx)(x−xiΔx)2=α2yi+1+(1−α2)yi+(1−α)ωki=ω/Δx,ω=x−xi
对势能函数, 一般满足远距离处导数为零, 故可使用自然条件 kn=0 , 由此, 可推知所有系数 ki .
令 ki=2ΔxTi,Δi=yi+1−yi, 则 Ti 满足递推式
Ti=Δi−Ti+1
可求得
Ti=∑j=in−1(−1)j−iΔj
样条函数可写为
fi(x)=α2yi+1+(1−α2)yi+2α(1−α)Ti,α=(x−xi)/Δx
对不等距划分, 令 Δi=yi+1−yixi+1−xi, ki 满足如下递推式
ki=2Δi−ki+1
求得
ki=2∑j=in−1(−1)j−iΔj
三阶
对等距划分的均匀样条, 设节点为 1,2,....n, 若 x∈[xi,xi+1],a=x−xi,b=xi+1−x,a+b=h=Δx, 则
6hfi(x)=6(ayi+1+byi)+a(a2−h2)Mi+1+b(b2−h2)Mi
Mi 为节点的二阶导数, 对应于力学上的弯矩, 满足下面的方程
Mi+4Mi+1+Mi+2=di+1=6h2(yi+2−2yi+1+yi),i=1,2...n−2
要求的 Mi 个数为 n, 而对应的方程数目为 n−2, 故还需两个边界条件才能唯一确定, 边界条件可取为两端点的导数值或是二阶导数值. 常用的自然边界条件指 M1=Mn=0. 加上边界条件后便可求得 M2,M3,...Mn−1
Mi 满足的方程为
0M2M3⋮Mn−3Mn−2+++⋮++4M24M34M4⋮4Mn−24Mn−1+++⋮++M3M4M5⋮Mn−10===⋮==d2d3d4dn−2dn−1
写为矩阵形式
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢41⋮……14⋮1001⋮41……⋮14⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢M2M3⋮Mn−2Mn−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢d2d3⋮dn−2dn−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
可见, 此方程为三对角方程组, 对角占优, 存在唯一解, 可利用所谓的追赶法求解. 中文常称的追赶法, 是Thomas方法的形象翻译. 大致求解过程分为两步:
1. 追: 利用消元法将原方程化为二对角方程, 向前递推, 使系数矩阵主对角线变为1. 由第一个方程, 得到 M2 和 M3 的关系, 将其带入第二个方程, 消去主对角线下方系数. 以此进行, 最终追到 Mn−1, 得到其解. 变换后, 其方程为
  ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢10⋮……A21⋮000A3⋮10……⋮An−21⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢M2M3⋮Mn−2Mn−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢D2D3⋮Dn−2Dn−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
2. 赶: Mn−1 已经追得, 然后由此倒推, 得到其他 Mi 值.
对上面的方程, 由于系数是固定的, Thomas方法的递推式为
A2D2Mn−1=14,=A2d2,=Dn−1,AiDiMi=14−Ai−1=Ai(di−Di−1)=Di−AiMi+1
对 Ai, 可求得其通式
Ai=2−3√ti+1ti−1,t=(2+3√)2
对 Di, 向后递推至 D2, 一般项可写为
Dj=∑k=2j(−1)j−kPjkdk
对 Mi, 向前递推至 Mn−1, 一般项可写为
Mi=∑j=in−1(−1)j−iPj−1iDj
综合上面两个结果, 得到
MiPnm=∑j=in−1∑k=2j(−1)2j−i−kPj−1iPjkdk=∑j=in−1∑k=2j(−1)i+kPj−1iPjkdk,i=2,3,...n−1=∏l=mnAl=AmAm+1…An−1An,n>m
根据插值公式
dk6hfi(x)=6h2(yk+1−2yk+yk−1)=6(αyi+1+βyi)+α(α2−h2)Mi+1+β(β2−h2)Mi
以划分间距 h 为单位, 约化上述公式
fi(x)α=αyi+1+βyi+α(α2−1)μi+1+β(β2−1)μi=ah,β=bh=1−α,μi=Mi6/h2
由此可见, 虽然三次样条函数仍可写为节点值的线性形式, 但其系数十分复杂.
上面公式看起来清楚, 但是实际计算时需要计算 Mi 和 Mi+1, 两个三重循环, 整体计算量为 O(N3). 利用 Ai 的近似关系和 Mi 的递推关系可以将公式的计算量减少一些.
fi(x)=αyi+1+βyi+α(α2−1)μi+1+β(β2−1)μi=αyi+1+βyi+β(β2−1)Di+[α(α2−1)−β(β2−1)Ai]μi+1
对不等距划分, 上面的递推公式太过复杂, 很难写出一般项了. 样条函数可写为
fi(x)hi=ayi+1+byihi+a(a2−h2)Mi+1+b(b2−h2)Mi6hi=xi+1−xi,a=x−xi,b=hi−a
Mi 满足方程
hiMi+2(hi+hi+1)Mi+1+hi+1Mi+2=6(yi+2−yi+1hi+1−yi+1−yihi),i=1,2,…,n−2

代码及测试测试结果

awk实现的代码如下

awk ' BEGIN{ Ndat=0 }
NF==3 { Ndat++; X[Ndat]=$2; Y[Ndat]=$3 }

END {
for(i=1; i<Ndat; i++) dX[i]=X[i+1]-X[i]
for(i=2; i<Ndat; i++) d[i]=6*( (Y[i+1]-Y[i])/dX[i] - (Y[i]-Y[i-1])/dX[i-1] )

A[1]=0; A[Ndat]=0
D[1]=0; D[Ndat]=0
for(i=2; i<=Ndat-1; i++) {
ai=dX[i-1]
bi=2*(dX[i-1]+dX[i])
ci=dX[i]
A[i]=ci/(bi-ai*A[i-1])
D[i]=(d[i]-ai*D[i-1])*A[i]/ci
}
M[Ndat]=0
for(i=Ndat-1; i>1; i--) M[i]=D[i]-A[i]*M[i+1]

# for(i=1; i<=Ndat; i++) print i, dX[i], d[i], A[i], D[i], M[i]
h=X[2]-X[1]
for(x=X[1]; x<X[Ndat]; x+=.1*h) print x, SP2(x, 0, Ndat, X, Y, dX), SP3(x, 0, Ndat, X, Y, dX, M)
}

function SP2(x, i, Ndat, X, Y, dX, j,a,ki) {
if(i==0) {
for(i=1; i<Ndat; i++) if(X[i+1]>x) break
}
ki=0
for(j=i; j<=Ndat-1; j++) ki += 2*(-1)^(j-i)*(Y[j+1]-Y[j])/dX[j]

a=(x-X[i])/dX[i]
return a^2*Y[i+1]+(1-a^2)*Y[i]+(1-a)*ki*(x-X[i])
}
#
function SP3(x, i, Ndat, X, Y, dX, M, a,b,h) {
if(i==0) {
for(i=1; i<Ndat; i++) if(X[i+1]>x) break
}
h=dX[i]
a=x-X[i]; b=h-a
return (a*Y[i+1]+b*Y[i])/h + ( a*(a^2-h^2)*M[i+1]+b*(b^2-h^2)*M[i] )/(6*h)
}
#
function Psp3(Ndat, i,j,k,a) {
a=(2+sqrt(3))^2
for(i=2; i<Ndat; i++) {
for(j=i; j<Ndat; j++) {
P[i,j]=1
for(k=i; k<=j; k++) P[i,j] *= 2-sqrt(3)*(a^k+1)/(a^k-1)
}
}
}
#
function uniSP3(x, i, Ndat, X, Y, j,k,a,b,h) {
if(i==0) {
for(i=1; i<Ndat; i++) if(X[i+1]>x) break
}

h=X[2]-X[1]
a=(x-X[i])/h; b=1-a

for(j=1; j<=Ndat; j++) Coef[j]=0

Coef[i] += b
Coef[i+1] += a

Rsec=b*(b^2-1)
for(k=2; k<=i; k++) {
Rtmp=Rsec * (-1)^(i-k) * P[k,i]
Coef[k+1] += Rtmp
Coef[k] += -2*Rtmp
Coef[k-1] += Rtmp
}

Rsec=a*(a^2-1)-b*(b^2-1)*P[i,i]
for(j=i+1; j<=Ndat-1; j++) {
Rij=Rsec * (-1)^(i+1)
if(j!=i+1) Rij *= P[i+1,j-1]
for(k=2; k<=j; k++) {
Rtmp=Rij * (-1)^k * P[k,j]
Coef[k+1] += Rtmp
Coef[k] += -2*Rtmp
Coef[k-1] += Rtmp
}
}

F=0
for(j=1; j<=Ndat; j++) F += Coef[j]*Y[j]

return F #( a*Y[i+1]+b*Y[i] + a*(a^2-1)*Mi(i+1, Ndat) + b*(b^2-1)*Mi(i, Ndat) )
}
#
function Mi(i, Ndat, j,k,Rtmp,ret) {
ret=0
for(j=i; j<=Ndat-1; j++) {
Rtmp=(-1)^i
if(j!=i) Rtmp *= P[i,j-1]
for(k=2; k<=j; k++)
ret += Rtmp*(-1)^k*P[k,j] *d[k]
}
return ret
}

' ABS >ABS.sp
# ' CUB > CUB.sp
#' LJ >LJ.sp

利用Matlab的csape函数可以进行三次样条函数的插值, 示例代码如下

format long

x=1:0.02:15;
y=-1E3*(-12./x.^13+6./x.^7);

pp=csape(x,y,'second',[0,0]);
pp=csape(x,y);
xsp=1:0.01:1.5;
ysp=ppval(pp,xsp);
yst=-1E3*(-12./xsp.^13+6./xsp.^7);

plot(x,y,'o',xsp,ysp,'-',xsp,yst,'-')
axis([1 1.5 -600 600])

FID=fopen('LJ.mat', 'w');
Ndat=length(xsp);
for i=1:Ndat
fprintf(FID, '%f %fn', xsp(i), ysp(i));
end