Drude振子的相互作用能
2013-12-24 10:52:24

Drude模型是力场中常用的极化模型, 也可算作最简单的. 其基本思想也很简单, 原子核周围的电子云可以变形, 发生极化, 极化后正负电荷中心不再重合, 因而中心之间产生了一定的相互作用, 这种相互作用可以谐振子模型进行近似描述.

单个的Drude模型可看作量子谐振子(也称量子Drude振子), 双Drude系统也即双量子谐振子系统. 当沿$x$轴放置, 彼此之间相距很远时, 只考虑它们之间的偶极相互作用, 其Hamilton算子

$begin{split}
hat{ text H} &=-{hbar^2 over 2m_1} {partial^2 over partial x_1^2}+{1 over 2}k_1 x_1^2-{hbar^2 over 2m_2} {partial^2 over partial x_2^2}+ {1over 2}k_2 x_2^2-{1 over 4pi varepsilon_0} {2 x_1 x_2 q^2 over r^3} \
&=hat{ text H}_0-beta x_1 x_2 \
beta &= {2q^2 over 4 pi varepsilon_0 r^3 }, k_1=m_1omega_1^2, k_2=m_2omega_2^2
end{split}$

当两振子相同时, 可通过变量替换法求得此系统的解析解, 进而求得其能量本征值, 相互作用能. 当两振子不同时, 可利用微扰法求得其相互作用能.

首先忽略两振子之间的相互作用, 系统可看作两个未耦合的量子谐振子. 对每个量子谐振子, 利用升降算符及其关系式

$begin{split}
a &=sqrt{m omega over 2 hbar} left( x+i {p over m omega} right);;a |nrangle =sqrt{n}|n-1rangle \
a^dagger &=sqrt{m omega over 2 hbar} left( x-i {p over m omega}right);; a^dagger |nrangle =sqrt{n+1}|n+1rangle \
hat {text H} &= hbar omega left( a^+a+{1 over 2} right) ;;hat{text x} = sqrt{hbar over 2m omega} left( a^++a right)
end{split}$

可求得单个粒子谐振子任意两态之间的矩阵元

$begin{split}
langle i|hat{text x}|jrangle &= langle i|sqrt {hbar over 2m omega}left( a^dagger +a right) |j rangle \
&=sqrt{hbar over 2m omega} langle i|a^dagger +a| j rangle \
&=sqrt{hbar over 2m omega} left( langle i|a^dagger | jrangle+langle i|a|j rangle right) \
&=sqrt{hbar over 2m omega} left( langle i|sqrt{j+1}|j+1rangle+langle i|sqrt{j}|j-1 rangle right) \
&=sqrt{hbar over 2m omega} left( sqrt{j+1}delta_{i,j+1}+sqrt{j}delta_{i,j-1}right)
end{split}$

对未耦合的双量子谐振子系统, 其能级为

$ E^{(0)}(n_1, n_2)=(n_1+{1 over 2}) hbar omega_1+(n_2+{1 over 2})hbar omega_2, n_1,n_2=0,1,2 ...$

任意两态之间的矩阵元

$begin{split} langle i_1i_2|x_1x_2|j_1 j_2 rangle = {hbar over 2sqrt{m_1 omega_1 m_2 omega_2}}&left( sqrt{j_1}delta_{i_1,j_1-1}+sqrt{j_1+1}delta _{i_1,j_1+1} right)\
&left( sqrt{j_2}delta_{i_2,j_2-1}+sqrt{j_2+1}delta _{i_2,j_2+1} right) end{split}$

其二阶微扰能

$begin{split}
& E^{(2)}(n_1, n_2) = sum_{n^prime neq n} {|langle n_1n_2|-beta x_1x_2|n_1^prime n_2^prime rangle |^2 over E^{(0)}(n_1, n_2)-E^{(0)}(n_1^prime,n_2^prime)} \
= &{beta^2 hbar^2 over 4 m_1m_2 omega_1 omega_2} \
&{ left(sqrt{n_1^prime}delta _{n_1,n_1^prime-1}+sqrt{n_1^prime+1}delta_{n_1,n_1^prime+1} right)^2left( sqrt{n_2^prime}delta_{n_2,n_2^prime-1}+sqrt{n_2^prime+1}delta_{n_2,n_2^prime+1}right)^2 over (n_1-n_1^prime)hbar omega_1+(n_2-n_2^prime)hbaromega_2}
end{split} $

根据Kronecker $delta$函数的性质, 上式只有满足$n_1=n_1^prime-1$或$n_1=n_1^prime+1$且$n_2=n_2^prime-1$或$n_2=n_2^prime+1$时, 累加项才不为零, 综合四种情况, 可计算得

$ begin{split}E^{(2)}(n_1,n_2)={beta^2 hbar over 4 m_1m_2 omega_1 omega_2} left( {n_1-n_2 overomega_1-omega_2}-{n_1+n_2+1 over omega_1+omega_2} right)end{split}$

上式即为非简并双Drude振子的二阶微扰能量, 不适用于兼并情形, 除非$n_1=n_2=0$.

当两振子相同时, 其基态的二阶微扰能也可利用上式得出

$begin{split} E^{(2)}_0=-{beta^2 hbar over 8 m^2 omega^3} = -{beta^2 hbar omega over 8 k^2}end{split} $

对Drude振子, 其极化率$alpha=q^2/k$,故

$begin{split} E^{(2)}_0=-{alpha^2 hbar omega over 2 (4 pi varepsilon_0)^2 r^6}end{split} $.

可见, Drude振子之间的相互作用能与距离的6次方成反比, 这与van der Waals相互作用符合.

推广到三维的Drude振子, 其Hamilton算子

$begin{split}hat{ text H} =-{hbar^2 over 2m_1} nabla_1^2 + {1 over 2}k_1(x_1^2+y_1^2+z_1^2)-{hbar^2 over 2m_2} nabla_2^2+ {1 over 2}k_2(x_2^2+y_2^2+z_2^2)+{1 over 4pi varepsilon_0} {(-2 x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2)q^2 over r^3} end{split}$

若两振子相同, 其二阶微扰能为

$ begin{split}E^{(2)}_0=-{alpha^2 hbar omega over 2 (4 pi varepsilon_0)^2 r^6}(1+1/4+1/4) = -{3alpha^2 hbar omega over 4 (4 pi varepsilon_0)^2r^6}end{split}$