1925年，海森堡在研究原子核外双电子的问题中遇到了难关。最后，他引入自己称之为“能量表格”给予解决如下：

他的导师波恩看到后大笑，说：“这个‘能量表格’就是矩阵，你还没学过，好吧！我请我的另一学生Jordan来给你补补课。”于是创立了量子矩阵力学，进而有了测不准关系。

海森堡（Werner Karl Heisenberg）

海森堡——德国著名物理学家。量子力学中矩阵力学的创始人，诺贝尔奖获得者。但是，就是在他创立矩阵力学的过程中发生了如下大事：

20世纪20年代正是量子力学热火朝天的研究时代。哥本哈根学派领袖玻尔提出了氢原子的单电子模型用量子力学很好地给出了解答。但是令人遗憾的是这一理论甚至连核外只有两个电子的氦原子模型也解决不了。海森堡当时作为一个年青人刚刚通过博士考试（由于某些老先生作难），只考了个及格。24岁的他情绪极为沮丧（无独有偶，Einstein的大学成绩也不很理想，他正研究自己所感兴趣的问题）。

波恩（Max Born）

天赐良机，海森堡要跟波恩作研究。波恩是当年物理又一大家。经过种种失败，1925年6月5日。连导师波恩都不耐烦了。要求离开海森堡作短期休假。巧的是当时海森堡也由于花粉过敏而患病，他到北海赫尔兰岛修养。正是在这种情况下，海森堡作出了他一生最大的灵感：

☀ 研究的目标应该采用两个电子的可观参量（即能量E和光谱频率γ），这样便于实践检验；

☀ 海森堡采用非谐振子的概念推广了玻尔的谐振子思想；

☀ 海森堡认为：第1个电子的能量E1不仅与本身γ1有关，也与第2个电子的γ2有关；同样，第2个电子的能量E2不仅与本身γ2有关；也与第1个电子的γ1有关。换句话说：它们之间是相互耦合的。

于是，正根据这一思想海森堡大胆列出来自己定义的所谓“能量表格（Table）”。并作出实例计算。整整一个通宵晚上，数据和实验完全吻合。他几乎不相信自己的成功，甚至以为这是“上帝”在相助。

海森堡在之后的回忆录写道：“凌晨3点钟，我才得到最后的计算结果。能量守恒对所有项均成立。我再也不怀疑我的计算所指出的那种量子力学的数学一致性和自洽性了”。

图 海森堡计算核外双电子而引入“能量表格”

——实际上就是矩阵。

起初，我深深地为之惊慌。我有这样的感觉：通过原子现象表面，我正窥测到一个奇妙的内部世界。想到我此时此刻必须去探究自然界已如此慷慨的展现在我面前的这种绚丽多姿的数学结构，我感到几乎眼花缭乱，我激动的不能入睡。所以天刚一亮我就登上小岛南边的岩石，在那里迎接那初升的太阳。

当海森堡满怀希望兴冲冲地把自己的研究结果交给刚刚回来的波恩导师时，万万想不到的是波恩在表扬之余给他泼了一大盆冷水：海森堡所谓自己创新发现的“能量表述”根本不是什么新东西，而是早就有的——矩阵（Matrix）。于是，海森堡面临的第一大任务就是补课。波恩马上请他的另一学生Jordon好好教给海森堡。于是，海森堡、波恩和Jordan创立了量子“矩阵力学”，双电子也漂亮地采用matrix给出了表示。

作为一个重要注记即

E=hγ

的矩阵推广。

历史奇妙地指出：“矩阵力学”的主要创立者海森堡在最初阶段竟然不懂Matrix。当然，这也从另一方面反证了《矩阵论》的重要性。

刚过去的20世纪，计算机的发明和应用是人类的一件大事，而也正因为计算机使得矩阵在数学中逐渐进入中心地位。不论是力学中的有限元法或者电磁学中的矩量法都离不开计算机的介入，它们分别称之为计算力学和计算电磁学。另一方面，有限元法、矩量法又离不开矩阵的应用。究其深层原因，矩阵的两个核心本质是线性和离散，它们在物理中的线性问题和计算机的离散特性中相得益彰、相互结合甚至达到相互融合的很高境界。

矩阵理论又是代数和几何的优美结合。目前不少书籍往往相对注意到矩阵代数的一个侧面。实质上，矩阵几何是我们研究很多问题中必不可少的，广义上矩阵构成一个变换。作为一典型实例：坐标转动即可以采用矩阵表示；同时，矩阵也独立地构成了空间，典型的有Euclid空间。千万不要小看矩阵空间，以为它仅仅是形式语言，实际上正是这一思想使物理有飞跃的发展。

1905年，伟大的爱因斯坦创立了狭义相对论。这正是一场物理学的革命，完全使人没有想到的是仅仅过了两年，即1907年，他的数学老师闵可夫斯基建立了四维矩阵空间[x,y,z,ict]。即用矩阵把四维时空真正放到一起。注意到ict也是长度量纲。建立了完整的闵可夫斯基复矩阵空间，其突出真空中光速c是空间的不变量。由此，爱因斯坦深为自己没有修好《线性代数》（即矩阵论）后悔不已。

完全可以看出：矩阵的发展离不开应用的刺激，当今有了计算机情况更为如此了。

本文摘编自梁昌洪所著《矩阵论札记》一书，标题为编者所加。本书的核心主题是矩阵，在侧重矩阵代数的同时，强调了矩阵几何的应用，由此引出了矩阵空间、矩阵变换等。该书是作者的四本工程数学札记中的第三本，另外三种别是《矢算场论札记》（科学出版社，2007）、《复变函数札记》（科学出版社，2011）、《概率论札记》（科学出版社，2014）。尽管四本书所涉猎的领域完全不同，但却有着完全一致的目标，“推出一套把数学和应用紧密结合的工程数学书籍，使读者能在数学和工程之间这座桥梁自如跨越且掌握得心应手。”

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