一百多年来，熵增定律始终是物理学最底层的核心规律之一。微观世界里，粒子运动遵循时间可逆的牛顿力学，物理规律不存在时间方向；可宏观现实中，热量只会自发从高温流向低温、墨水一旦散开便无法重新聚拢，熵永远单向增加。微观可逆与宏观不可逆的巨大矛盾，长久困扰着物理学家与数学家。希尔伯特在1900年提出的第六问题，正是希望以严格的数学公理化路径，打通微观粒子动力学到宏观物理方程的逻辑链条。菲尔兹奖相关成果中，邓煜与其合作者完成了狭义希尔伯特第六问题的关键性证明，首次在长时间尺度下完成从牛顿硬球系统到玻尔兹曼方程、流体力学方程的严格推导，也从数学底层揭示了熵增并非物理附加假设，而是复杂多体系统内在数学结构自然涌现的结果。

一、熵增的经典困境：H定理与分子混沌假设

玻尔兹曼在1872年建立气体动理学方程时，提出了著名的 H 定理，通过定义H函数证明系统H值随时间单调下降，对应热力学熵持续上升。但这一结论存在无法回避的逻辑漏洞：牛顿力学方程具备时间反演对称性，粒子的运动轨迹正向、反向都符合物理规则，理论上熵减过程应当可以发生。玻尔兹曼为解释这一矛盾，引入分子混沌假设，假定粒子发生碰撞前彼此相互独立、不存在历史关联。该假设本质上人为抹去了粒子之间的因果关联，直接导致了不可逆性的出现，却始终无法在严谨的数学框架内得到证明。

在此之后，数学家兰福德在1975 年完成了开创性工作，仅能在极短的时间区间内，完成硬球系统向玻尔兹曼方程的收敛证明。这个时间尺度远小于粒子完成一次完整碰撞的平均时长，无法解释日常生活中长期发生的熵增现象。长达半个世纪里，学界始终无法突破时间尺度的限制，核心难题在于：随着演化时间拉长，粒子碰撞会形成海量互相缠绕的关联结构，碰撞路径呈指数级增长，对应的高维积分项难以被有效控制，微观可逆的动力学无法自然导出宏观不可逆的规律。

二、邓煜的数学突破：碰撞图结构与熵增的数学根源

邓煜团队跳出传统级数展开的研究思路，构建了全新的累积量分析体系，将粒子全部碰撞历史拆解为图论结构，把海量粒子碰撞分为树状碰撞结构与环状碰撞结构两大类，这也是熵增诞生的核心数学抓手。

1. 碰撞结构的分类与衰减规律

环状碰撞代表粒子之间形成闭环的因果关联，粒子的运动存在记忆、彼此并非相互独立；树状碰撞则对应无闭环的独立碰撞链条。团队通过严格的数学推演证明，在玻尔兹曼–格拉德稀薄气体极限下，环状碰撞对应的积分贡献会随着时间演化不断衰减、最终趋近于零。只有树状碰撞结构能够持续保留在动力学方程当中，微观粒子之间的关联信息被数学结构本身过滤，信息不可逆地丢失。

2. 长时间尺度下玻尔兹曼方程的严格推导

该团队突破了兰福德短时证明的局限，将整个宏观时间区间划分为多层短时演化单元，逐层控制粒子关联信息的传播。在2024至2025年发布的系列论文中，完整打通了“牛顿硬球微观动力学→玻尔兹曼动理学方程→欧拉方程、纳维–斯托克斯流体方程”的完整数学链条。玻尔兹曼方程自带的 H 函数单调性，不再依赖人为设定的分子混沌假设，而是由粒子碰撞的拓扑结构自然保证，熵增从物理学猜想变为可以被严格证明的数学定理。

3. 熵增的本质：数学结构带来的信息不可逆丢失

牛顿力学的相空间演化是保测、可逆的，系统不会丢失任何粒子的位置、速度信息，熵保持恒定。而当我们从海量微观粒子的个体运动，过渡到宏观分布函数的描述时，环状关联结构被数学上的衰减效应剔除，大量微观细节信息无法被宏观物理量捕捉。熵的物理意义正是微观缺失的信息量，树状碰撞主导的演化过程，天然对应信息不断流失，宏观层面就表现为熵持续单向增加。时间箭头并不是宇宙额外赋予的属性，是多体系统复杂拓扑结构内生的数学结果。

三、狭义希尔伯特第六问题与现有证明的边界

邓煜的成果被学界定义为狭义希尔伯特第六问题的完整解答，其适用范围有着清晰的数学限定，同时也客观存在相应的局限性：

第一，模型前提限定在硬球相互作用体系，粒子之间仅存在瞬间碰撞、无长程作用力。当前证明无法直接推广到引力、库伦力等长程相互作用的物理系统，这类系统粒子关联不会快速衰减，环状碰撞结构难以被忽略；

第二，推导建立在稀薄气体的玻尔兹曼–格拉德极限条件下，高密度、强耦合的凝聚态体系，粒子碰撞关联极强，现有累积量、碰撞图的分析框架无法直接适用；

第三，该工作只完成了经典力学框架下的不可逆性推导，量子系统、相对论时空下熵的涌现机制，还需要后续全新的数学工具开展研究。

即便存在上述边界，这项工作依然完成了希尔伯特第六问题百余年来最关键的一步推进，第一次在数学层面完成微观可逆到宏观不可逆的长时过渡，为统计力学的公理化奠定了坚实基础。

四、数学结构与物理涌现的深层启示

邓煜的研究带来了一个重要的认知：熵增不是一种特殊的物理现象，而是高维复杂动力系统普遍具备的涌现性质。只要一个系统存在大量相互作用的单元，其相互作用的拓扑结构会自发过滤掉高阶关联信息，宏观层面就必然出现不可逆的演化方向。这套数学逻辑不仅可以解释热力学熵增，也能够延伸应用到信息熵、复杂流体、湍流、宇宙演化等诸多领域。数学不再只是描述物理现象的工具，物理世界的不可逆规律，本身就扎根于底层的几何、组合与分析结构之中。

参考文献

1. Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma. Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics [EB/OL]. arXiv:2408.07818, 2024，accepted by Annals of Mathematics。

https://arxiv.org/abs/2408.07818

2. Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma. Hilbert’s sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann’s kinetic theory [EB/OL]. arXiv:2503.01800 [math.AP], 2025.

https://arxiv.org/abs/2503.01800

3. Lanford O. E. Time evolution of large classical systems [M]. Lecture Notes in Physics, Springer, 1975.

https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-07171-7_1

4. Boltzmann L. Lectures on gas theory [M]. Dover Publications, 1995.

https://terpconnect.umd.edu/~brush/books/Lectures_on_Gas_Theory.html

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