2016物理诺奖：凝聚态物理中的拓扑

施郁

（复旦大学物理学系）

1.导言

因为在拓扑相变和物质拓扑相方面的开创性工作，索利斯（David J.Thouless）、霍尔丹（F. Duncan M. Haldane）和科斯特里兹（J. Michael Kosterlitz）分享2016年诺贝尔物理学奖 [1]。

这三位获奖物理学家都是长期在美国工作的英国人，生于英国，在剑桥大学读本科。索利斯生于1934年，在美国康奈尔大学获得博士学位，导师是著名物理学家贝特（Hans Bethe）。他是华盛顿大学荣休教授。霍尔丹生于1951年，在剑桥大学获博士学位，导师我印象里是爱德华兹(Sam F. Edwards)和当时在剑桥大学兼职的著名物理学家安德森（Phil W. Anderson）。他是普林斯顿大学教授。科斯特里兹生于1942年，在牛津大学获博士学位，是布朗大学教授。

笔者在颁奖之日所写的即时评论中，曾说:“今年的奖，对他（索利斯）来说，是姗姗来迟。”[2] 这句话除了字面意思，还有点特殊含义，因为令人痛惜，索利斯得了轻微的痴呆症（dementia）。

拓扑本来是一个数学概念，是指物体在连续变化下保持不变的性质，连续变化是指拉伸、扭曲以及变形等等，但是不能“用力过猛”而有撕裂。比如，一个球和一个椭球，甚至一个任意形状、没有洞的物体，在拓扑上都是一样的。一个面包圈和有一个手柄的茶杯，甚至任何有一个穿透的洞的物体在拓扑上是一样的。因此洞的个数（数学上叫做亏格）是个拓扑性质，是整数。

三位获奖科学家发现，拓扑在凝聚物质的一些物理特性上起到至关重要的作用。凝聚物质是指大量粒子构成的物质，如固体、流体等等。这些物理特性一般是指在低温下的性质，因为这时量子力学扮演了重要角色。三位科学家的获奖工作都是研究属于低维凝聚态系统。 通常的空间是3维（有长、宽、高）。当组成系统的微观粒子的运动受到局限时，可以成低维系统，即2维（只有长、宽）或1维（只有长度）。 索利斯和科斯特里兹的获奖工作都是有关2维系统。霍尔丹的获奖工作涉及2维和1维系统。

三位获奖者的成果后来导致这个研究领域取得极大的进展，从而使得我们可以从微观粒子的拓扑性质的角度来理解凝聚物质，以及设计新材料、新器件，甚至有可能有助于量子计算机的实现。

2. 拓扑相变

获奖成果之一是所谓拓扑相变。

相变是指由同样的微观粒子组成的宏观体系在不同温度下表现出截然不同的性质。比如随着温度的下降，气体变成液体，液体变成固体。再比如，随着温度的下降，液态氦可以变成超流，也就是说，变成一种没有粘滞的流体（类似超导）。不同宏观性质的表现叫做相，比如水的气相、液相、固相，或者液氦的超流相、正常相。

之所以有相变，是因为存在两种因素，即能量与混乱程度（称作熵）的互相竞争。一方面不同的相能量不同，比如简单来说，液相比气相能量低，固相又比液相能量低。而另一方面，液相比固相混乱，气相又比液相混乱。对于液氦来说，超流相比正常相能量低，正常相比超流相混乱。混乱程度（熵）乘以温度以后可以直接与能量定量比较。为了稳定，系统既希望能量尽量低，又希望混乱程度尽量高。最后的结果是，存在某个温度，在这温度之上，系统处于某个相；在这温度之下，系统处于另一个相。这就是相变。

1972年以前，物理学家普遍认为，正常相到超流相的相变只能存在于3维系统中。对于2维系统，当时人们认为在非零温度，不存在相变。也就是说，任何一个非零温度下，总是正常相赢，因为它在混乱程度上的优势总能战胜在能量上的逆势。因此，人们说，在2维或1维系统中，在任何非零温度下，热涨落破坏有序，没有相变。

1972年，在英国伯明翰大学，数学物理学教授索利斯和博士后科斯特里兹发现，通过拓扑的途径，在2维可以发生一种新的相变，即拓扑相变。具体来说，这个拓扑的途径是通过涡旋。涡旋是指某个区域中绕着一个轴旋转的液体（或者某个物理特性随着绕轴的角度而变），这是一个拓扑结构，因为不管怎么旋转，转1圈总归是360度，与没有涡旋的情况截然不同。表征一个涡旋的量是它的缠绕数，即绕轴的圈数。索利斯和科斯特里兹发现，在2维系统中，涡旋有两种形态，一个是旋转方向相反的涡旋两两束缚在一起，另一个是它们没有互相束缚。这两种形态有能量与混乱度的竞争，导致在一个非零温度发生相变。低于这个温度时，正反涡旋形成束缚对。高于这个温度时，涡旋可以自由运动。这个相变被称作拓扑相变或者KT相变。索利斯和科斯特最初讨论的超流薄膜的相变，但是类似的KT相变也存在于其他系统，如超导薄膜、平面磁系统等等。

索利斯和科斯特里兹是在理论上的发现，后来在超流薄膜、超导薄膜以及其他各种系统得到实验证实，包括近年来的冷原子，即处于极低温度的原子气体。

3. 量子霍尔效应中的拓扑

1980年，德国物理学家冯克里青（von Klitzing）研究了2维电子气的霍尔效应。在两种不同的半导体之间，可以形成一个薄薄的导电层，电子在其中构成一个2维气体。在电压下电子形成电流。这时再加上一个垂直的磁场。由于磁场的作用，在垂直于电流的方向，也会形成电压，称作霍尔电压。这个基本现象是霍尔在1879年发现的，称作霍尔效应，可以用电磁学得到简单的解释。而冯克里青将样品保持在极低温下，从而观察量子力学的效应。他发现，电流与霍尔电压的比值（称作霍尔电导）总是某个物理常数（电子电荷的平方除以普朗克常数）的整数倍，这被称为量子霍尔效应。而且这个量子化非常精确，精确度达到10亿分之一，所以这个物理常数的倒数（即普朗克常数除以电子电荷的平方，被称作冯克里青常数）现在已经被用作电阻的标准单位。冯克里青因此发现获得1985年诺贝尔物理学奖。

实验发现，霍尔电导非常稳定。在一定范围内，改变温度、半导体中的杂质浓度和磁场时，霍尔电导保持不变。磁场改变到一定程度时，霍尔电导相应的整数变为相邻整数。

1980年，索利斯转至美国华盛顿大学工作。在那里，他与合作者甲元真人（Mahito Kohmoto）、南丁格尔（M. P. Nightingale）和邓尼斯（M. Den Nijs）提出（根据4位作者的姓，简称TKNN），量子霍尔电导的量子化起源于拓扑，对应的整数是个拓扑数，这就是数学大师陈省身很多年前发现的陈数（中国人的骄傲）。后来索利斯还与当时的学生牛谦以及当时在该系高能物理组的吴咏时合作给出了另一种更普遍的推导，适用于有杂质情形。顺便提一下，长期以来，牛谦（德克萨斯大学教授）与吴咏时（犹他大学教授，现在同时也是复旦大学教授）在凝聚态的拓扑性质方面都作出重要的贡献。最近，索利斯等人的结果也在冷原子实验中得以证实，实验上测量了陈数。

陈数起源于拓扑可以作如下简单的理解。一个曲面总是被它的边缘环路所包围，这个环路可以是1圈，也可以是2圈，事实上可以是任意整数n圈。这个整数n就是拓扑的，也是一个缠绕数，与曲面的具体形状无关。 在量子霍尔效应上，这个曲面是在抽象的参数空间里，拓扑性在物理上表现为前面提到的霍尔电导对实验和样品的细节不敏感。

通过索利斯等人的工作，霍尔电导的量子化被归结于某种参数空间的拓扑数。因此原则上，即使没有磁场，只要能实现参数空间的陈数，就可以让电导量子化，即正比于整数。因为这种拓扑性，表现出量子霍尔效应的电子气被称作拓扑量子流体。

由于索利斯等人的奠基工作，1988年，霍尔丹发现，即使没有磁场，只要有所谓的时间反演对称破缺（指当构成系统的微观粒子从任何初态到终态的运动反过来时，也就是说，当时间改变的符号改变时，系统的能量函数有改变；否则就说是有时间反演对称），而且有陈数非零的能带（固体中每个电子的能量在某些范围内有连续的可能值，在另一些范围连续地不可能，这样的分布称作能带），类似量子霍尔效应的拓扑量子流体也能形成，也会有类似量子霍尔效应的电导量子化。当时霍尔丹是借助于一种晶格上跃迁电子的理论模型。最近该模型用激光形成的晶格上的冷原子直接模拟出来。

霍尔丹研究的没有磁场的拓扑量子流体的思想近年来在所谓的拓扑绝缘体中也得以实现。拓扑绝缘体通常是由自旋轨道耦合与时间反演对称性导致的一种拓扑物态，因为拓扑的原因，拓扑绝缘体的体内是绝缘体，而表面是导体。在这里，动量起到了类似磁场的作用。在拓扑绝缘体中，电子表现出所谓的量子自旋霍尔效应。这在2005年由凯恩（C. Kane）、迈乐（E. Mele）在一个石墨烯模型中提出。但是石墨烯中的自旋轨道耦合太小，现实可行的方案由张首晟（斯坦福大学教授）及其合作者于2006年用半导体量子阱提出，并由德国的默棱坎普（L. Molenkamp）组于2007年在实验上得以实现。 霍尔丹所提出的没有磁场的量子霍尔效应被称作反常量子霍尔效应，这首先由薛其坤组于2013年用掺入磁性杂志的拓扑绝缘体（从而破环时间反演对称）验证。现在人们也发现了3维的拓扑绝缘体。

4. 1维反铁磁与对称性保护的拓扑态

1982年，霍尔丹研究了1维磁体的拓扑性质。1维磁体又可称自旋链，由很多原子组成，每个原子有自旋（一种内部角动量，类似绕自身中心轴旋转，但事实上不是），在某个基本单位下，它可以是半整数，也可以是整数。如果相邻原子的自旋之间的相互作用是正数，那么相邻自旋方向相反时，从简单的经典物理来说，能量较低，这就是所谓的反铁磁。但是关键是要考虑量子力学效应（所谓的量子涨落）导致的对这个经典态的偏离。霍尔丹指出，自旋整数与半整数的反铁磁自旋链具有截然不同性质。就整数自旋构成的链而言，最低能量与最接近的能量之间有个有限差，称作能隙。而半整数自旋构成的链没有能隙，也就是说是连续的。霍尔丹的猜想首先在磁性材料CsNiCl₃中得到验证。

在霍尔丹的论证中，他考虑量子力学效应导致的对于相邻自旋相反这样的情况的偏离（涨落）。各种各样的情况各有一定的几率。而这个几率又取决于一个在时间与1维空间组成的抽象的2维空间里的一个拓扑量，即缠绕数乘以自旋（整数或半整数）。这个拓扑量是一个复数的相位，从而导致整数自旋链的这个复数为1。当缠绕数是偶数时，半整数自旋链的这个复数为1，否则为-1。因为需要考虑各种缠绕数的可能，所以对于偏离相邻自旋相反的情况，半整数自旋链的各种缠绕数对于几率的贡献互相抵消。所以半整数自旋链的能量情况正如相邻自旋相反的情况，那是没有能隙的。而对于整数自旋链来说，情况总是偏离了相邻自旋相反，导致有能隙。这被称作霍尔丹相。

现在人们认识到，霍尔丹相、整数量子霍尔效应态和拓扑绝缘体都属于所谓对称性保护的拓扑态。还有一些拓扑物态不属于这一类，比如分数量子霍尔效应和自旋液体，里面还有很多未解之谜。目前，国际上拓扑物态研究方兴未艾。一个领头人是文小刚（麻省理工学院教授），他在与牛谦合作的一篇文章中首次提出拓扑序的概念。拓扑序后来成为拓扑量子计算的基础。拓扑物态的研究对于量子计算的实现也是很有意义的。

本文已经提到不少在拓扑物态这个凝聚态物理的前沿领域作出重要贡献的华人或中国人，另外还有很多华人和中国科学家活跃在这个领域。比如，在3维拓扑绝缘体和外尔（Weyl）半金属的研究中，中国科学家作出了非常重要的贡献。

参考文献：

1.    2016年诺贝尔物理学家官方材料

2.    施郁，2016年诺贝尔物理学奖： 姗姗来迟，实至名归，科学网博客; 物理文化微信号。

（同步发表于“科学人“和“物理文化”微信号）

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