这几天在计算地表温度变化引起的位移场，用到了以前写的一个计算海潮负荷的程序（海潮负荷只要积分海洋部分的球面，现在要积分陆地部分的球面）。写程序时用的是VC++，现在不用了，也不太好调试，废了很大劲，有些内容自己都忘了（现在想想写个说明文档是多么重要），所以又把以前的东西看了一些，发现一个“好”东西，跟大家分享一下。

   在计算海潮负荷时，有时要用到近海的潮汐模型来替换全球的海潮模型，近海区域有时候不是那么规则，其边界通常是数字化的，比如是由一些节点连起来的一个多边形，这时候就需要判断积分区域是否在这个多边形内，如果在这个区域，用全球海潮模型计算时，就不能计算这部分的积分（因为要扣除这部分影响）。

   怎么样判断一个点在一个面内，这就要用到复变函数中的柯西积分，

                                                             （1）

上式是一个围线积分（绕一个闭环，也就是多边形的边界，这里的编辑器没有积分号加个圈的符号），如果a在这个环内（积分核不是全域解析的，如果是解析的，积分就是0），积分值就等于2πi，如果不在则等于0，正好在边界线上则为πi。

   把复数的实部和虚部显式地表示出来，即

，                                                （2）

则（1）可写为

                            （3）

上式积分中的前两项正好是一个全微分，因此围线积分是0（与路径无关，只和起点终点相关，起点即终点）。

因此只需要计算下式：

                                                   （4）

对于点正好在边界线上的情形是比较好判断的（如通过点到边界节点连线的斜率相等），这里就不详细介绍了，主要作内外判断。边界线实际是N个直线段连接而成。设这些点为

，,...

围线积分就是在这些直线段积分再叠加，对于第j个点和第j+1个点组成的线段，

      当时，,（4）式的值为

                                    （5）

     当时，线段的方程为

                                （6）

所以，（4）变成

              （7）

这个积分需要判断分母中二项式的判别式的取值情况，将（7）写成简洁的形式

                                                  （8）

当时，

                           （9）

大于或相等的情形，可以参考数学手册，这里就不写了。因为从（4）式知道分母表示的是两点的距离，一定是大于0的（不包含点在边界的情形），并且A也是大于0的，所以判别式小于0（二项式没有=0的实根），其结果就是（9）式。

所以最后的结果就是叠加所有N个线段上的值，如果这个结果接近2π，说明点就在多边形内部；如果接近0就在外部。

      其实，判断方法有很多种，这只是其中之一，有兴趣可以搜搜。