评王敏中等编的

《数学弹性力学研究的若干进展》

武际可

最近，王敏中教授送给我他和他的学生编的一本专著《数学弹性力学研究的若干进展》。书中收集了几十年来他和学生们在弹性力学方面最重要的研究论文40篇。

王敏中和我在同一北京大学力学系又在同一个教研室共事数十年，他以往的研究每有新发现都在一定的范围或讨论班上做报告，所以他的研究方向和成果，我虽然不能说完全熟悉，也略知一二。

这本书一到手，我便忍不住先浏览一遍。

作者在序言中说：书中涉及的问题有以下七个方面：

一.综述两篇:弹性通解研究进展，某些数学方法在弹性力学中的应用；

二．线性弹性力学问题的通解；

三．矩阵的广义逆与应力函数；

四．Sanit-Venant 问题、广义平面应力问题和Stenberg集中力的弱假设，局部积分方程与中值定理的等价性；

五.梁和板的精确化理论；

六.某些二维问题裂纹、夹杂和空间等问题的精确化解；

    七.多种物理因素（热、磁、压电......)作用下，弹性力学问题的通解。

浏览过这本书不仅加深了我对王敏中科学研究深度的印象，而且使我对他的研究的重要性有了新的认识。

首先，这本书可以说是王敏中和他的学生们几十年在弹性力学的研究的精华，是几十年心血的结晶。书中涉及的问题对于弹性力学发展来说十分重要。如有关二维、三维问题的夹杂、空洞问题的精确解，圣维南问题、弹性力学的基本解问题、多物理场与弹性力学的耦合问题等，这些新研究成果，无论是在理论上还是应用上都是非常重要和值得关注的。

举例说，弹性力学如果用应力方程来求解，那末我们有三个平衡方程，六个应力协调方程，一共是九个方程，可是未知量只有六个应力分量。显然有矛盾。对于这样一个基础性的问题，是任何上弹性力学课的人都会遇到，但是在以往的各种弹性力学的著作中很少提到，只有鸠津久一郎的著作中认定六个协调方程不独立。是王敏中和黄克服把这个问题彻底解决。结论是，九个方程将其中任何六个作为方程，另外三个作为边条件，一共有84种可能，他们证明了，其中81种可能三个式子作为边条件在区域内部也成立。而另外三种情形，作为边条件的三个式子在区域内部不成立，并且给出了反例。这个问题的实质是来自弹性力学的协调方程是不独立的。六个协调条件再微商一次就只有三个是独立的了。像这样带基础性质的问题的解决是可以入教科书的。事实上，在我们合作编著的《弹性力学教程（修订版）》与《弹性力学引论（修订版）》中都已经介绍了这个结论。

其次，在弹性力学研究的方法论上，本书的特色在于深入研究弹性力学的通解。研究现今存在的弹性力学通解的完备性、各种通解之间的关系、通解用于求解各种有重要意义的弹性力学具体问题以及构造新的通解。

在弹性力学发展的历史上，人们求解过许多问题。不过人们特别看重那种用统一的方法能够解决一大类问题的研究。早些时，法国的圣维南系统解决弹性柱体的弯曲与扭转问题，后人称为圣维南问题，二十世纪苏联的科罗索夫与穆斯海里什维里发展的弹性力学平面问题的复变函数解法。这两类问题合起来占了一般弹性力学教材求解问题的大部分。可见人们的重视程度。

弹性力学的基本方程提出后，造成求解的一种困难就是方程组的未知函数比较多。于是人们就想办法想用较少的未知函数来取代原来的方程组，或者把原来方程组中的未知函数用性质比较清楚的函数族来表示。沿着这一思路最早的结果就是艾里应力函数的引进，由于它，能够将没有体力的平面弹性力学问题化归为求解双调和方程的边值问题。其实上文提到的平面弹性力学问题的复变函数解法也是一类通解的应用。后来，对于三维问题的平衡方程有麦克斯韦、莫拉（Morera）和谢法（Schaefer）应力函数的引进；对于用位移表示的弹性力学拉梅平衡方程，有帕珀科维奇用四个调和函数表示位移的通解，还有用三个双调和函数表示位移的伽辽金通解；再后来又有对于各向异性材料弹性力学的胡海昌通解，王敏中自己又于1996年和2001年分别提出了横观各向同性弹性力学通解和各向异性弹性力学通解等等。

面对积累了一百多年的这众多的通解，王敏中教授很自然地向自己提出了问题：它们都是完备的吗，即相应方程组的任何解都能够用通解表达出来吗（帕珀科维奇与伽辽金通解的完备性已有人证明）？为什么有多种通解，不同的通解之间有什么关系？

经过多年的积累和努力，这些问题都被王敏中教授一一解决。并且最后给出一篇综述性的文章：34.Recent General Solutions in Linear Elasticity and Their Applications.（附有二百多篇参考文献）。

王敏中的研究把百年来关于弹性力学通解的众多的研究结果提升到一个新的阶段。他打通了各种通解之间的联系，统一解决了通解的完备性问题，为通解的应用奠定了坚实的理论基础。因此美国加利福尼亚州伯克利分校的力学家徐皆苏教授这样评价王敏中的工作的：“为建立几个著名解之间的关联，他做了大量统一工作，我认为在这个领域中，他是当代世界上最有学识者之一。”

弹性力学经过二百多年的发展，不会把能够求解的问题仅限于圣维南问题和平面问题。可以预料，未来弹性力学的三维问题，会引起更多的关注。而求解三维问题，也会像平面问题一样，通解将是最重要的工具。事实上，本书涉及三维问题解，如夹杂问题，空洞问题都是借助于通解解决的。因之可以说，王敏中和他的学生们的工作，在弹性力学通解及其应用的发展来说是具有里程碑意义的工作。

我前面说的本书的这两个特点，是有相当难度和重要性的工作。王敏中所以能够做到，是和他的经历和独到的兴趣有关。具体来说有以下三点：

第一、厚实的基础。王敏中是1962年经过北大数学力学系六年学习毕业留校的。北大数学力学系教学本来就重视基础教学，他们那一届又是六年制，基础就更扎实。这还不算，留校后，王敏中一直作基础课辅导教员，先后两次辅导数学分析，两次辅导理论力学，还辅导了一次解析几何。当时北大数学力学系的数学分析和理论力学都是两年的课，两门课辅导两次就是八年，再加辅导解析几何，后来又遇上文化大革命，所以大约留校二十年没有作为主讲教师，一直是辅导助教。要是换作别人，早就不干了，会远走高飞。话说回来，也幸亏那时还没有数论文评价人的办法，否则他也会由于没有论文被炒鱿鱼的。而王敏中不一般，利用作辅导教员的条件大量做题的优势，把基础打得格外扎实。这还不算，他利用辅导课和文革的空时间，自修泛函分析、完整地钻研穆斯海里什维里的《数学弹性力学的若干问题》专著。这样，他的数学和弹性力学基础，至少在北大力学系是无人能及的了。

    所以王敏中是在他留校工作二十年之后才发表弹性力学方面的论文的。他在研究上可以说是大器晚成，不鸣则已，一鸣惊人。

第二、专注于基本理论问题。王敏中进入弹性力学研究的时候，正值固体力学有限单元法传入中国的时候。整个力学界一窝蜂地涌向数值方法，各种数值方法的论文、学术会议和专著大量出现。而且说实在的，用计算机算题出论文比起做实验和探讨理论问题要快。即使是在一直比较重视基础理论的北京大学力学系也是这样。在这种风气之下，专注于理论研究的人少之又少。王敏中就是一个。国内力学界的这种情形，使他和他的学生的研究在国内知音很少，和者寥寥，反而得到国外同行有名的教授的肯定。现在科学出版社出版这本专著，为读者能够集中地了解他们几十年的工作，提供了方便的条件。

    周培源先生说过，做学问，认准了就要坚持下去。王敏中正是这样，坚持就是胜利。

第三、关注世界权威的工作，敢于向权威威挑战。

从研究工作的开始，王敏中就瞄准弹性力学中的难题展开工作。特别关注在这一领域中大师的工作。他引用华罗庚先生的话说：“弄斧就要到班门”。这是为有人耻笑在名人前面谈论自己的工作为“班门弄斧”反其意的说法。即是说，要推敲名人做过的题目，有没有问题、能不能改进、能不能推广，并且将得到的结果与名人交流研讨。也就是说敢于挑战名人，要有超过名人的欲望。俄罗斯有谚语“照着星星打枪，总比照着树梢打得高。”都是这个意思。

正是持这样的做学问的态度，他才能把钱伟长关于弹性柱体的条件减弱，得到钱伟长的认可，并且说这是最弱的条件。正是持这种做学问的态度，他和研究生发现苏联著名学者鲁里叶的专著《三维弹性力学问题》中的错误，并加以改正。也正是持这样的做学问的态度，他和学生发展了著名的Eshelby嵌入椭球核问题，提出在算术平均意义之下的夹杂问题。以上介绍的关于通解的相互关系问题的解决，也可以说是世界上大师们一直想解决而未能解决的问题。

所以，这本书出版正及时，它不仅使我们了解到王敏中和他的学生们这几十年在弹性力学领域中解决了哪些重要问题，它们的学术价值，它还可以使我们窥见王敏中和他的研究生们做学问的态度、他们的基础、解决问题的方法和技巧。

所以，我觉得凡是对弹性力学有兴趣的人都应当读一读这本书，至少值得挑选几篇有兴趣的文章，认真读一读。