对于二阶偏微分的波动方程，把二阶偏导数改写为一阶偏导数的平方，就得到射线方程（也称为程函方程）。

       数学上这是显然错误的！这个解法的理论提出者是数学家，然而唯一支持这个解法的是研究弹性波和电磁波的力学界。

       在数学上我们无法证明这个解法的合理性；但是，大量的波动研究以实验性的姿态证明着这个解法的合理性。

       这里的实质问题是，对于由两个函数的积给出的函数（波幅函数和相位函数），波动方程的解法是在求导时把波幅函数看成为常数。从而得到相位函数的运动方程解。

逻辑上，在对波幅求导数时，把相位函数看成是常数，从而就应该是得到波幅的运动方程。但是，这个方案是不正确的。正确的方案是令波幅对时间的偏导数为零。

从而，波动方程的解法是：分解为空间波幅函数和相位函数的积。这样，就与导数的链式法则没有那么明显的矛盾了。

然而还是有问题，波幅一阶导数与相位一阶导数的积为何呢？只有在这类项的求和为零时，波动方程的解法才是合理的。数学家力学家用定义来解决这个问题：波沿等相射线平移，波幅不变。等波幅面（等相面）的空间梯度（等相曲面的切线）与射线方向正交。这的确有点牵强。

       然而，这是天才性的解法。我们在雷达及其它大量的与波动现象有关问题上的技术基础就是这样的一个波动方程求解理论。

       数学上的显然错误！工程实践上的显然正确！两者并列了。

       半个世纪后，数学家才意识到这是一场数学上的革命。数学家把波函数解释为小函数。小函数的最大特点是：有关的参数的确是坐标自变量的函数，但是，在求导时，把这类参数视为常数。

       当然，小函数这个名称太俗，数学家用“整函数”，“压纯函数”来确定此类函数的基础属性。就我个人的感觉而言，研究这类问题的数学家在我国的考评制度下应该是基本被消灭了。他们进入工程应用界是几乎不可能的。但是，此类研究的原始出发点恰恰是面向实际的重大工程问题。

       显然的，这个分支的纯粹数学研究应该是可以证明波动方程的射线求解法是严格的，应该是可以解决波动求解上的数学上的显然错误。但是，很遗憾的是：任何一个函数，如果它的参数是函数（含有坐标自变量）的话，所有的高等数学都要求对这个参数的求导项是不能忽略的！

       所以，小函数的概念也就是在波动问题上有可能得到普遍认可，但更多的人马上就能发现这个显而易见的错误。

       在抽象的基础理论研究中，我们实质上经常性的面对：数学上的显然错误！工程实践上的显然正确！

       如何取舍呢？工程界毫不犹疑的把数学上的错误视而不见。而数学界也毫不客气的指出这是小儿科式的错误。

       在全国或国际性大型学术会议的私下议论中，一般的总能听到此类声音。

       哲学上，数学家的才华表现为，我们把求导过程几何化，每一次求导都伴随着引入一个几何因子，这个几何因子就扮演了相位函数的角色。

       这是数学界历经近百年的努力，在实质上解决了这个并列化的问题。这样的抽象求导理论，算子代数，代数几何，几何代数，有多种方案。

在其高度抽象化的外表下，本质上是基于工程实践标准，把普通微积分数学上的显然错误变成为在新的抽象理论体系下的显然正确。

这就是现代抽象数学的本质。就20世纪而言，这就是数学界最为值得自豪的理论进展。也必将是支撑21世纪科学进步的重大科学理论进展。

       然而，我很遗憾的看到：太多太多的学者，基于“不可能有任何错误”的普通微积分运算法则，轻轻松松的“发现了”抽象数学的显然错误。就算是嘴上不说，但是在内心深处还是要大大的鄙视一番。

       在我们普及工科层次的高等数学时，在我们灌输“不可能有任何错误的普通微积分运算法则”后，我们给现代科学制造了在应用于工程界时的最大阻力。

       这是21世纪整个学界面对的实际科学哲学问题。

       我国的科学创新实际上由于科学哲学上的困惑而被动的追随国外的相关研究。这不是靠发牢骚，不是靠虚无主义，也不是靠自由主义，能解决的问题。而是靠不能发表论文的深度研究（实际上的个人学习）才能解决的问题。