一个有趣的学术成果——“成像系统的统计模型”

【纯粹的好奇心，加上长期的自由探索，带来原始的创新。】

• 成果的来历

    学术成果可以定性的分为两类，即原创性的（Original或innovative）或者跟进型的（Incremental）。原创性成果的重要性已不用再赘述。

      笔者在这里要介绍的一个理论模型最早要追溯到2007年。当初我们准备用一种处理射电干涉阵数据的方法来重建光学望远镜拍摄的斑点干涉图像，在交叉相关图上意外发现一些难以解释的结构（见上图）。为了理解这些结构，笔者不断思索背后的物理原理。在这个过程中，也得到一些无关痛痒的成果，差不多就要放弃，因为经典的光学理论不支持出现这样的结构。

      有一次，在看量子光学方面的一篇文献，无意中读到：“现代光学表明，光子表现出异于泊松分布的特性，像自然光满足超泊松分布.....”，一下子茅塞顿开。原来，这些有趣的图像结构背后隐藏着量子物理规律。

      接下来，就是要建立成像系统基本的统计模型，来定量描述观测到的现象。然而，研究很快又陷入困境，按照直觉建立起来模型，连最经典的成像方程都推导不出来。一定是哪里出了问题？这一拖又是好几年。

      2018年8月，笔者在奥地利维也纳参加第30届IAU大会。中间隔着一个周末，正好整理一下开学以后要用到的《概率统计与量测技术》课件，里面有一小节内容讲二项分布。笔者就在网上查阅相关资料，看看能不能给课件增加一些新的内容。突然注意到一个特性，二项分布的两个结果是负相关的（相关系数为-1）。这很直观，也好理解，你投硬币10次，如果正面出现了6次，那么反面肯定出现了4次。一个结果增加，另一个结果必然减少。

      电光火石之间，笔者想到了二项分布的推广——多项分布，一定也有类似的特性。一查资料，果真如此。多项分布的负相关往往被我们的直觉所忽略。好比投一个骰子，我们很少注意到各个点数的概率之间存在着负相关。

      把多项分布函数替换掉原来模型中的点源扩散函数，很快经典的成像方程就被推导出来。接下来的两天，得到了模型所有的二阶数字特征。随后的数值模拟也确认了最早在观测数据中出现的结构。

      故事到这里并未结束。在笔者整理论文的过程中，发现若引入一个新的统计量Z，它等于方差减去均值，那么原来一堆复杂的公式，就可以化简为极其简单的三个方程。这个内在优美的理论模型，不但囊括了经典结果，而且把成像设备的探测能力引入到了一个全新的领域，我们也将看到一个完全不一样的物理世界。

• 成果的简要介绍

      众所周知，成像在天文、物理、生物、医学等几乎所有的科学领域都是重要的研究手段。成像设备，包括望远镜、显微镜、单反相机、手机摄像头等等，在本质上都是跟光子打交道。

      在经典光学，也就是我们普通物理课本中，一个无穷远处的点光源通过一个圆形镜头后，会在像平面上形成一个光斑，即Airy斑。Airy斑就是这个成像系统的点源扩散函数。目标物体可以看做由很多很多的点源组成，通过成像设备后，我们看到的图像由一系列点源扩展函数叠加所形成。这个过程在数学上可以用一个卷积方程来描述。

     我们现在知道，在微观层面，所有物理系统都受量子力学控制。在量子力学层面，光源的发光，成像设备对光子的控制都呈现新奇的特性。有些光源发出的光子是完全随机的，犹如步行街上的人流，各自互不关联。另外一些光源发出光子有聚集的倾向，好比在公园草地上休息的人群，以家庭或朋友为单位，三五成群的散布在各个地方。还有一些光源的光子具有反聚集倾向，犹如在新冠疫情期间，人们会刻意保持社交距离。

      所以在量子层面，我们不能用波动光学或几何光学来描述成像系统，而是要借助概率论及统计学工具。“成像系统的统计模型”正是建立起了可以完整描述成像系统的理论体系。在这个体系中，我们推导得到了三个基础性成像方程（见下图）。其中第一个方程和经典成像方程完全一致，另外两个成像方程则揭示了新的规律。

      新的理论不要求对成像设备的硬件结构做任何修改。唯一需要的是高速探测器，这样的技术在目前都是现成的。在微波波段，已有的接收机自然满足了要求。从使用角度来看，本理论从一组图像（不是一幅图像）出发，去研究目标的物理特性。这个小小的改变看似毫不起眼，在互相关等统计工具的帮助下，最终却可以得到关键性的新结果。正如著名物理学家Andson所言：“More is different!”。

      该理论具有普遍的适用性，从低能的微波，到高能的X射线乃至伽马射线，从物理、生物到天文、医学等等。因此可以说这是一个基础性的原创学术成果。

https://arxiv.org/abs/2005.09644 (论文还在审稿中)