博文
关于量子的解释（4）薜定谔方程与普朗克量子假设
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在氢原子中，电子和质子作为围绕其质心经典轨道运动，属两体问题，数学上可以通过电子相对于质子运动的描述将两体问题单体化，同时要求采用电子的有效质量代替电子质量，对电子相对于质子的运动的计算分析结果进行修正，这是经典理论对两体轨道运动的标准而准确处理方法。
处于基态的氢原子，电子沿半径a0的圆形轨道运动，a0由洛伦兹力和电磁偶合作用决定，数学方法上可以选择含时间的运动方程或轨道方程进行描述。通过含时间的运动方程，我们可以方便地获得电子任意时刻的空间位置；通过轨道方程我们可以方便地表达不同能量轨道之间的关系。因此不同的数学形式为我们分析同一物理事件中不同物理量之间的关系提供了方便。
从数学方法上讲，电子沿圆形轨道进行周期运动，可以视为波长为2πa0，振幅a0稳定不变的驻波，可通过驻波方程进行描述和分析。通过驻波方程的求解，我们可以获得轨道频率与轨道共振频率之间的关系，便于我们通过光谱数据对共振轨道变化（即原子结构的变化）的分析和比较。很显然电子的驻波方程并不代表电子的真实运动，并且对于电子的真实运动的描述是不完整的，正如同其轨道方程只给出了电子运动限制，要知道电子在某时刻的具体位置还需要其它的初始条件。
根据上面的物理概念和数学方面的认识，基态氢原子的圆周轨道的驻波方程可以参照拉紧弦的驻波方程建立，拉紧弦不含时间部分驻波方程可以用下式表达：
∂2u(x) / ∂x2 + (k / Tp )u(x) = 0 ， (5)
或 ∂2u(x) / ∂x2 + (2π / λ)2u(x) = 0 (6)
且
k / Tp = (2π / λ)2 (7)
k = ρmω2 (8)
且
k / Tp = (2π / λ)2 (7)
k = ρmω2 (8)
式中，k为弹性系数，Tp为张力，ω和λ分别代表频率和波长，ρm线密度。
由于洛伦兹力中的静电力远大于磁场力，电子与质子的相互作用主要为库仑力，因此，主要针对库仑力求解，而将安培力的影响作为修正处理。作用于电子的库仑力与电子和质子的距离r平方成反比，因此弹性系数k(r)是电子的位置的函数，对于氢原子半径为r的电子轨道，根据轨道的力学平衡条件和能量关系，可以得出：
Tp = e2 /4πε0r2 (9)
k(r) / 2πr = 2T / (2πr ⋅ r2 ) (13)
式中T为电子的动能，由公式(5)、(9)和(13)可以获得：
∂2u(x) / ∂x2 + (4π2ε0 /2πre2 )2T ⋅u(x) = 0 (14)
由于电子轨道在空间中可以任意取向，因此，电子的波方程u(x,y,z)就应采用空间波方程描述：
∇2u(x, y, z) + (4π2ε0 / 2πre2 )2T⋅u(x, y, z) = 0 (15)
式中：∇2 = ∂2 / ∂x2 + ∂2 / ∂y2 + ∂2 / ∂z2
式中：∇2 = ∂2 / ∂x2 + ∂2 / ∂y2 + ∂2 / ∂z2
与(6)比较，波长可用下式描述：
λ = h / P (16)
式中P为电子的动量，且
h = e* (μπr / ε0)1/2 (17)
∇2u(x, y, z) + (4π2μ / h2 )2T*u(x, y, z) = 0 (18)
式中μ为电子的有效质量。
公式(18)就是电子圆形轨道的驻波方程，很显然该方程难于直接求解和应用，因此需作相应的数学变换。
根据驻波上节点的定义，节点是驻波上的静止点，此时是与电子的圆形轨道相对应的。因此圆形轨道用驻波来描述，波的能量E只含势能部分，与电子运动的动能T和势能V有如下关系：
E = V = −2T = −4π2μυ2r2 (19)
式中电子的υ为频率，由(17)和(19)式，驻波的能量E可写为：
E = −hυ (20)
由于氢原子基态轨道的共振是以基态轨道为基础产生，其高阶共振轨道的频率是基态频率和自然数的函数，轨道半径也有相应的关系。因此基态轨道可以作为高阶轨道描述的参照。即基态轨道可以作为基本特征用于对高阶共振轨道和描述，因此基态氢原子的半径—氢原子的玻尔半径a0可以视为常数，(17)式中的h就为常数，即普朗克常数：
h = e*(πa0μ / ε0)1/2 (21)
将相关物理量代入计算，可得：
h = 6.62437 × 10−34 JS (22)
显然上式的计算值与光谱实验测量计算出的数值是十分接近的。将(18)式中T，用E-V取代，T→E-V，变为：
∇2u(x, y, z) + (8π2μ / h2 )(E − V)*u(x, y, z) = 0 (23)
很显然，(23)式与目前量子力学给出的氢原子定态薜定谔方程是完全一致的，但该式是在经典理论概念基础上推得的。其物理意义是：（23）式是氢原子基态轨道用驻波形式表达的相关物理量的关系式，但并不表示电子的真实运动是驻波。通过该方程的求解，可以获得基态轨道共振发生时相关物理量结果或关系，可了解共振导致的轨道结构变化，以及与外界进行电磁能交换（即光的吸收和辐射）的特点等。
因此，薜定谔方程可以理解为电子轨道共振用驻波形式表达的物理量的关系方程，所谓“物质波”波长与粒子动量的关系，以及普朗克能量子等是电子轨道发生共振现时，物理量之间存在的内在关系。因此，量子化现象是与电子轨道共振的必然结果。
从结构力学的角度讲，原子中带电粒子轨道结构的模态响应是量子化现象产生的根源。
系列博文：
关于量子的解释（1）光子
https://blog.sciencenet.cn/blog-378615-358780.html
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