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广义时滞分数阶食饵—捕食者—食腐动物系统的Hopf分岔与混合控制
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编辑荐语
在自然界中，食饵、捕食者与食腐动物三者之间形成了复杂的生态循环。然而，气候变迁或人类活动等因素带来的参数突变，常常打破这种共存平衡，导致种群数量的周期性暴发或濒危——这背后往往隐藏着系统动力学中的“Hopf分岔”现象。
传统模型难以刻画生物系统的“记忆”与滞后效应。为此，本文基于分数阶微积分理论，构建了更精准的广义时滞分数阶生态模型，并提出一种由分数阶PD^α控制器与线性时滞反馈组成的混合控制策略。该方法能有效调控分岔临界点，实现对不稳定状态的主动干预。欲了解理论推导与仿真验证，请阅读全文。
Hopf bifurcation and hybrid control of a generalized delay fractional-order prey-predator-scavenger system (广义时滞分数阶食饵—捕食者—食腐动物系统的Hopf分岔与混合控制)
作者：Fu Feng1,2·Jianping Shi1·Hui Fang1
机构：1昆明理工大学 理学院数学系; 2攀枝花学院 数学与计算机科学学院
引用: Feng, F., Shi, J. & Fang, H. Hopf bifurcation and hybrid control of a generalized delay fractional-order prey–predator–scavenger system. Control Theory Technol. (2026). https://doi.org/10.1007/s11768-026-00332-7
摘要
本文分析了一类广义时滞分数阶食饵—捕食者—食腐动物系统（GFPS）的Hopf分岔与分岔控制。首先，讨论了该系统解的存在性与唯一性条件。其次，利用分数阶系统的稳定性理论，推导了无时滞GFPS平衡点的局部稳定性条件。第三，以时滞作为分岔参数，推导了该系统共存平衡点的稳定区域以及Hopf分岔的产生条件。此外，本文成功引入了一种由线性时滞反馈控制器和分数阶比例-微分控制器组成的混合控制方法，以控制该系统的Hopf分岔。最后，通过数值仿真验证了理论分析的正确性以及混合控制器的有效性。进一步的数值仿真表明，混合控制器的控制效果优于单一控制器。
引言
分数阶导数能够刻画具有记忆和遗传特性的现象，因而在描述复杂动力系统时比整数阶模型更具优势，已被广泛应用于生物学、物理学和工程控制等领域。
生态系统的演化与种群互动密切相关。Volterra提出的捕食者-被捕食者模型奠定了生态动力学的基础。研究表明，时滞在生物系统中扮演着关键角色。May首次发现时滞能引发系统在平衡点附近的周期振荡，即Hopf分岔现象。此后，大量研究证实，将时滞引入分数阶生物模型能够更真实地反映种群演化的动力学特征。然而，如何有效控制Hopf分岔、维持生态系统稳定，仍是亟待解决的问题。
目前，针对生物模型的分岔控制主要采用状态反馈控制，但该方法容易导致意外效果且难以降低成本。线性时滞反馈控制因其简单易行而得到广泛应用；分数阶PD^α控制器则凭借记忆特性和灵活的调节机制，在医疗、航空航天等领域展现出优越性能。
2019年，Abdul等人提出了一类包含食饵、捕食者和食腐动物种群的生态模型，引入了Michaelis-Menten型收获项。受该工作启发，本文提出一类广义时滞分数阶食饵—捕食者—食腐动物模型，记作系统（2）：
本文的主要工作包括：
1.证明系统解的存在性与唯一性；
2.分析平衡点的稳定性；
3.以时滞为分岔参数，推导Hopf分岔产生的条件；
4.引入混合反馈控制方法，实现对Hopf分岔的有效控制。
本文结构如下：第2节介绍预备知识；第3节证明解的存在唯一性；第4节分析平衡点稳定性；第5节推导Hopf分岔条件；第6节通过数值仿真验证理论结论；第7节总结全文。
结论
本文研究了一类广义时滞分数阶食饵—捕食者—食腐动物系统（GFPS）的Hopf分岔及其控制问题。推导了系统在共存平衡点处发生Hopf分岔的时滞临界值，证明了混合控制器（分数阶PD^α + 线性时滞反馈）能有效调控分岔发生时机，控制效果优于单一控制器。数值仿真验证了理论结果的正确性。
未来工作将致力于建立更严谨的Hopf分岔临界值理论体系，进一步推动分数阶生态系统的控制理论发展。
作者介绍
Fu Feng，于2020年获得楚雄师范学院理学学士学位，2023年获得昆明理工大学硕士学位。目前就职于攀枝花学院。他的主要研究方向包括非线性时滞系统的稳定性及控制策略研究。
Jianping Shi，于1997年和2000年分别在云南大学获得应用数学理学学士学位和计算数学硕士学位。2014年于昆明理工大学获得工程力学博士学位。现任昆明理工大学数学系教授。她的研究方向主要集中在分数阶微分方程的分岔理论、随机微分方程以及深度学习在微分方程中的应用。
Hui Fang，于1985年获得北京大学数学专业理学学士学位，1999年获得四川大学应用数学专业博士学位。现任昆明理工大学数学系教授。他的研究方向主要集中在随机微分方程的分岔理论、分数阶微分方程以及深度学习在微分方程中的应用。
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期刊简介
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Control Theory and Technology (CTT), 中文名《控制理论与技术》, 创刊于2003年，原刊名为Journal of Control Theory and Applications，2014年刊名更改为Control Theory and Technology。由华南理工大学与中国科学院数学与系统科学研究院联合主办，主要报道系统控制科学中具有新观念、新思想的理论研究成果及其在各个领域中的应用。目前被 ESCI (JIF 1.5)、EI、Scopus (CiteScore 3.2)、CSCD、INSPEC、ACM 等众多数据库收录, 并于2013–2018年获得两期中国科技期刊国际影响力提升计划项目资助。2017–2021年连续获得“中国最具国际影响力学术期刊”和“中国国际影响力优秀学术期刊”称号，获得广东省高水平科技期刊建设项目I期(2021-2024年)和II期，2022-2025年进入中国科协自动化学科领域高质量科技期刊目录。
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