Observability for a class of Ψ-Caputo time-fractional distributed-parameter linear systems（一类Ψ-Caputo型时间分数阶分布参数线性系统的可观测性）

本文聚焦于一类由Ψ-Caputo分数阶导数定义的线性时间分数阶分布参数系统，微分阶数介于1和2之间，研究其全局可观测性问题。分数阶微积分近年来在描述复杂介质中的反常扩散、粘弹性及非马尔可夫过程等方面展现出独特优势，而Ψ-分数阶导数进一步通过引入变换函数Ψ，使模型能够适应非均匀时间尺度下的记忆效应与异质结构，因而具有重要的理论与工程意义。

文章首先给出了Ψ-Caputo系统全局可观测性的严格定义，并分析了其基本性质。在此基础上，作者扩展了经典的Hilbert唯一性方法（HUM），提出了一种不依赖初始状态先验信息的重构策略。该方法利用分数阶格林公式建立对偶系统（以Ψ-Riemann-Liouville导数表达），将初始状态重构问题转化为可解性问题，从而为状态估计提供了可行的算法框架。通过选取不同的Ψ函数进行数值仿真，作者验证了理论结果的有效性，展示了方法在多种场景下的适用性。

该研究不仅丰富了分数阶系统可观测性的理论体系，也为实际工程中传感器部署、状态监测与反问题求解提供了新的分析工具。

Observability for a class of Ψ-Caputo time-fractional distributed-parameter linear systems

一类Ψ-Caputo型时间分数阶分布参数线性系统的可观测性

作者：Hamza Ben Brahim1, Khalid Zguaid1,2, Fatima-Zahrae El Alaoui1 

机构：1. TSI Team, Department of Mathematics, Faculty of Sciences, Moulay Ismail University 2. EMA Team, LRST Laboratory, Department of Sciences and Techniques, Higher School of Education and Training of Agadir (ESEFA), Ibnou Zohr University

引用：Ben Brahim, H., Zguaid, K. & El Alaoui, FZ. Observability for a class of Ψ-Caputo time-fractional distributed-parameter linear systems. Control Theory Technol. (2026). https://doi.org/10.1007/s11768-026-00321-w

全文链接：https://rdcu.be/fiCN9

  摘 要  

本研究针对一类由Ψ-Caputo导数定义、且微分阶数介于1和2之间的线性时间分数阶系统，提出了全局可观测性的概念。本文首先定义了全局可观测性，并探讨了其基本性质。接着，通过扩展Hilbert唯一性方法（HUM）的原理，本文提出了一种在t=0时刻确定系统状态的方法。值得注意的是，该方法无需预先知道初始状态向量，其主要思想是将重构问题转化为更易处理的任务，从而便于开发状态估计算法。此外，通过改变Ψ函数，本文进行了实际演示以验证理论结果。在结论部分，通过全面的数值仿真验证了所提算法的有效性。

  引 言  

 Ψ-分数阶导数（如Ψ-Caputo和Ψ-Riemann-Liouville型）通过引入函数Ψ推广了经典分数阶微积分，能够更精确地描述非均匀系统中的记忆效应与复杂动力学，在反常扩散、粘弹性力学等领域具有重要应用。对于阶数α∈(1,2)的Ψ-Caputo时间分数阶分布参数系统，其可观测性分析是控制系统理论中的基本问题——即能否根据有限时间内的输出测量值唯一重构系统的初始状态。Hilbert唯一性方法（HUM）是处理整数阶分布参数系统可观测性的经典工具，但无法直接推广到分数阶系统，因为格林公式导出的对偶性质不再成立。此外，现有研究大多假设系统初始状态已知，而在实际工程中初始状态往往难以测量或完全未知。本文针对一类由Ψ-Caputo导数定义、微分阶数介于1和2之间的线性时间分数阶系统，研究其全局可观测性问题。主要贡献包括：

1. 提出全局可观测性的定义并探讨其基本性质；

2. 扩展HUM方法，建立适用于该分数阶系统的对偶性质（其中伴随系统以Ψ-Riemann-Liouville导数表示）；

3. 设计一种无需预先知道初始状态向量的状态重构算法，将重构问题转化为更易处理的任务。

通过数值仿真验证了所提方法的有效性。

本文结构如下：第2节给出系统模型与预备知识；第3节阐述可观测性分析及状态重构方法；第4节展示数值仿真结果；第5节总结全文。

  结 论  

本文研究了利用Ψ-Caputo导数的分数阶微分方程的全局可观测性，重点区分了精确全局可观测性与近似全局可观测性的特征。研究方法基于希尔伯特唯一性方法（HUM），该方法成功实现了对区域Ω内初始向量的重构。此外，采用不同Ψ函数的实例进一步支持和验证了本文的理论结果。本研究所进行的数值模拟在误差范围和计算效率方面均取得了非常满意的结果。分析过程中始终使用有界观测算子。未来工作将探索使用无界观测算子的效果，并进一步研究涉及Ψ-Riemann-Liouville导数的线性和半线性时间分数阶系统的区域边界可观测性问题。

作者介绍

Hamza Ben Brahim，目前是摩洛哥梅克内斯穆莱·伊斯梅尔大学理学院的博士研究生。研究方向包括系统理论、区域可观测性、分数阶微积分以及应用数学。

Khalid Zguaid，于2022年在摩洛哥梅克内斯穆莱·伊斯梅尔大学理学院获得系统分析与控制博士学位。目前是摩洛哥阿加迪尔伊本·佐赫尔大学阿加迪尔高等教育与培训学院（ESEFA）的助理教授。研究方向包括最优控制、区域可观测性、分数阶微积分以及应用数学。

Fatima-Zahrae El Alaoui，于2011年在摩洛哥梅克内斯穆莱·伊斯梅尔大学理学院获得系统分析与控制博士学位，目前是该大学数学系的教授。研究方向包括最优控制、区域可观测性、区域可控性、分数阶微积分以及应用数学。

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