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声波方程满足力学相对性原理

摘要：证明了声波的波动方程满足力学相对性原理，即具有伽利略变换下的形式不变性，验证了多普勒效应是坐标变换的结果.

关键词：声波；运动学方程；波动方程；伽利略变换不变性；多普勒效应

中图分类号：O313.1文献标识码：A

1.声波方程满足力学相对性原理

波动方程是波的动力学方程，给出了介质内体元的运动和受力的关系，反映了波动传播的机制，波的运动学方程是波动方程的解.由于波动方程在推导过程中利用了牛顿第二定律，因此应当满足伽利略变换.

    下面我们假定媒质空气静止，声源静止，证明声波的运动学方程和波动方程经伽利略变换形式不变，望力学界的专家学者批评指正.

为简单起见，设介质在惯性系S中静止，波函数用ψ表示，同时假定单频平面声波沿x轴正方向传播，波速为v,频率为f，声源静止，观测者S′向声源右方运动，速度为u,则声波的运动学方程为

在S系ψ（x,t）=Acos2πf（  ） （1）

在S坐标系，波动方程为

                                                                                                          （2）

S、S′两坐标系坐标变换关系为

x=x′+ut

t=t′                                                                                                                               (3)

将式（3）式代入式（1）式，可以得出在S′坐标系声波的运动学方程为

ψ′（x′,t′）=Acos2πf（  ） =  Acos2πf［ ］

=Acos2πf（ ）

假如观察者接近波源S是沿着他与波源的连线方向由A向B，则相对运动速度为，周期是，所以，此时接收频率增加；假如观察者靠近波源S是沿着他与波源连线的方向由B向A，则相对运动速度为，周期是，所以，此时接收频率减小；

令f′=f，v′=v-u，则有

ψ′（x′,t′）=Acos2πf′（ ） （4)

将式（4)与式（1)比较，说明声波的运动学方程经伽利略变换后形式不变.

，

       由这两个式子我们便得到， .                                                       (5)

      比较式（2)、(5)，说明波动方程经伽利略变换下的形式不变性.当观察患者静止，波源运动或者观察者和波源同时运动分析类似，本文不再分析，有兴趣的读者自行分析.

2.多普勒效应是坐标变换的结果

由于机械波必须在媒质中传播，而波相对于媒质的速度是恒量，所以在多普勒效应中起作用的是波源及观察者相对于媒质的速度，而不是波源与观察者之间的相对速度^[1]，所以在这里声速不是不变量.但是在本题中由于我们假定波源相对于媒质不变，因此观察者相对于波源的速度等价于观察者相对于媒质的速度.在S′系我们只对波的运动学方程和波动方程进行坐标变换，不用管介质的问题,如果按照运动介质处理就错了,牛顿力学适用于绝对时空，介质不变.文献[2]得出与本文一致的结论.研究多普勒效应对于非均匀介质，还需要考虑折射率的变化，限于篇幅本文不再讨论.

从上面推导过程可以得出：根据多普勒效应可以得出声波运动方程具有伽利略变换的不变性，反之根据声波运动方程的伽利略变换不变性也可以得出多普勒效应，多普勒效应是坐标变换的结果，二者是等价的.^[3～7]文献[7]推导出了波源和观察者沿任意方向运 动 时 的 精 确的多普勒效应公式，证明了多普勒效应与波源和观察者之间的相对位置无关，并发现部分教材给出的普遍的多普勒 效应公式，实际上是在观察 者 的 运 动 速 度 远 小于 波 速 情 况下的近似结果．最后，由波源和观察者沿任意方向 运动时的精确的多普 勒 效 应 公 式，得 到 了火车 经 过 静止观察者时，汽 笛音 调 的 变 化 公 式．结果 发 现，火 车从接近到远离观察 者的整个过 程中，虽 然火车在接近观察者时，观察者测 得的音调始终高于汽 笛自身的音调，远离时始终低于汽笛自身的音调，但是观察者测得的音调是一直在由高变低 的，而把汽笛的音调变化描述为先越来越高后越来越低是不正确的．

本文验证了声波运动方程满足力学相对性原理，物理规律对于所有的惯性系都相同，不同惯性系测量物理量可以不同，正如不同观察者测量一个质点的速度不同，但是其动力学规律相同.

多普勒效应在非惯性系中也是适用的，但情况会变得较为复杂.在惯性系中，多普勒效应主要描述了波源与观察者之间相对运动导致观测到的频率变化.然而，在非惯性系中，由于存在加速度等因素，需要考虑更多的相对论效应和复杂的变换.例如在加速运动的非惯性系中，波的传播和观测会受到加速度的影响，导致频率的变化不仅仅取决于相对速度，还可能与加速度等有关.一个简单的例子是，在一个加速上升或下降的电梯中观察声波或电磁波的频率变化，这时就需要综合考虑电梯的加速度以及与波源和观察者之间的相对运动关系来分析多普勒效应.总之，多普勒效应原则上适用于非惯性系，但具体的分析和应用需要更深入的理论和考虑更多的因素.

理论物理学的目的是要以数量上尽可能少的、逻辑上互不相关的假设为基础，来建立起概念体系，如果有了这种概念体系，就有可能确立整个物理过程总体的因果关系.这里的问题不单是一种列举逻辑上独立的前提问题(如果这种列举竟是毫不含糊地可能的话)，而是一种在不能通约的性质间作相互权衡的问题.指这样一种努力，它要把一切概念和一切相互关系都归结为尽可能少的一些逻辑上独立的基本概念和公理.只要数学上暂时还存在难以克服的困难而不能确立这个理论的经验内涵，逻辑的简单性就是衡量这个理论的价值的惟一准则，即使是一个当然还不充分的准则.

参考文献：

1. 姜廷玺.机械波的多普勒效应浅析，工科物理（现名：物理与工程），1992（01）：16～17.

2. 王长龙，何向前.平面弹性谐波的伽利略变换.湖北民族学院学报（自然科学版），1998（6）：26～28.

3. 郭福臣，王澜涛.用坐标变换推得多普勒效应.石家庄铁道学院学报，1991（09）：82～84.

4. 路峻岭，汪荣宝.多普勒效应公式的简便推导.大学物理，2005（08）：25～28.

5. 李清玉，吴文良.多普勒效应与相对性原理.昭通师专学报，1998（5）：144～146.

6. 李清玉，吴文良.多普勒效应与相对性原理.云南教育学院学报，1999（4）：59～60，64.

7. 李子良，陆丁.澄清对多普勒效应的几点误解.大学物理，第43卷第2期，2024年2月：13～15，22.

8. 武璇，黄双印，郭振平.非惯性系运动下声波的多普勒效应.延边大学学报（自然科学版），第41卷第3期，2015年9月：215～218.

9. 刘明成.对一道困扰中国力学教学40多年习题的思考.2025年全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会论文集.清华大学出版社，2025年7月：20—27.

李学生.一个物理教师提出的理论物理问题.现代物理学报，2025年第8卷第12