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广义相对论的引力场方程

1.Einstein场方程的一个大致推导过程

大致流程——

具体推导过程

1.1牛顿引力论中的潮汐加速度

先引入引力势，它与引力有如下关系：

设一个质点质量，由牛顿第二定律有：

接着考虑一个临近的质点，有：

对右式取一阶近似有：

将③式代入②式并减去①式后得到：

④式便是牛顿引力论中潮汐加速度的表达式，下面我们来看广义相对论情况

1.2广义相对论中的潮汐加速度（测地偏离方程）

先求出相对论中质点的运动方程：

考虑矢量:

则：

可知对于空间中两点a，b，它们之间的线长定义为：

即：

在引力场中，质点走短程线，因而

现在选取函数

则：

现在先单独处理几项：

则原式化为：

考虑分部积分有：

由变分法的边界条件可知：

则：

且对第三式作指标替换，得到：

即有：

左式化为：

即：

两边同时乘以，得到

注意到第二类Chirstoffel符号的定义：

故原式写为：

这就是测地线方程，广义相对论中的运动方程

现在来计算广义相对论中的潮汐加速度（测地偏离方程）

考虑一条测地线，参数设为，则它满足：

考虑一条邻近测地线，参数设为，注意的是充分小（邻近）

对于其测地线方程的第一项，写为：

第二项，可知此时的参数只影响Chirstoffel符号的取值

由于充分小，我们对Chirstoffel符号一阶近似（如同牛顿引力论那样），为：

则测地线方程写为：

用②式减去①式得到：

注意到对的协变导数有如下定义(同样展开到一阶)：

故原式写为（替换了指标）：

即：

注意到在一阶近似下，Riemann-Christoffel张量有如下形式：

故原式改写为：

这便是广义相对论中的测地偏离方程，描述了类似牛顿引力论中的潮汐加速度

1.3泊松方程

现在列出一中所给出的牛顿引力论中的潮汐加速度方程，并改写为：

根据牛顿的万有引力定律可知：

如同静电场那样，定义引力场的场强，可知：

假设空间里的物质总质量为M，考虑一个包被M的半径为r的球面（如同高斯面那样），则引力场强对于球面的通量可以定义为：

写成积分形式如下：

用散度定理改写为：

故最终得到：

我们知道对于引力场和引力势，有如下关系

结合②③两式，我们得到泊松方程：

现在列举出测地偏离方程，牛顿引力论中潮汐加速度，泊松方程

注意到能动张量有如下定义：

联立后三式得到

与第一个式子进行对比，不难发现有如下关系（为了使等式左右两边同为二阶张量（因为能动张量为二阶张量），对Riemann-Christoffel张量作缩并）：

但事实上，它们是不等的，这很容易想到，因为牛顿引力论和相对论仅在低速缓变的情况下可以近似等效，所以需要在低速缓变的情况下（弱场近似）找到正确的关系式.

1.4张量构造与牛顿近似

由连续性方程可知：,但是：

因此：

那么现在，我们需要构造一个二阶张量，使得它满足如下等式：

由Riemann-Christoffel张量的定义可知：

不难得出如下等式（Bianchi恒等式）：

以及：由以上两式可得：

缩并a和e以后得：

左右两边同时乘以得到：

即：,即：

即：

现在令（R即Ricci标量）：,这即Einstein张量

现在令：

这便确立了场方程的基本形式，现在的任务是确定的具体值

在①式左右同时乘上一个，得到：

代回①式有：

即：

在②式左右同时乘上

得到：

由关系式：,

可知：

在牛顿近似下有（此时为低速情况，所以P几乎不存在（速度很慢），故只有r，而且由于是弱场，所以时空平坦，）：

则

通过对比得知,最终我们得到爱因斯坦场方程：

2.韦尔张量和里奇张量

彭罗斯的《皇帝新脑》一书，对爱因斯坦的广义相对论方程包括的韦尔张量和里奇张量，虽说得直观明白：韦尔张量囊括类似平移运动的相对加速度，对球面客体单向的拉长或压扁作用；这与牛顿力学的性质对应；而里奇张量囊括当球面客体有绕着的物体圆周运动时，被绕着的物体的整体都有一个纯粹向内的加速，产生有类似向心力的扩张或收缩的缩约、缩并作用.但几乎没有多少人弄懂：也许是看成类似科里奥利加速度矢量，但科氏力仅是一般的推算分析.里奇张量奇妙的是，似乎已经包含了韦尔张量，即类似牛顿引力在地球的潮汐效应.能说明射影里奇张量整体效应的，是麦克斯韦的电磁场方程：变化的电场产生变化的磁场；变化的磁场产生变化的电场.所以彭罗斯的解释是：“黎曼=韦尔+里奇”.

韦尔张量，韦尔是测量类似自由下落的球面的潮汐畸变，即形状的初始变形，而非尺度的变化.里奇张量，里奇是测量类似球面的初始体积改变.这与牛顿引力理论要求下落球面所围绕的质量，和这初始体积的减少成正比相合.即物体的质量密度，或等效地能量密度（ E＝mc²），应该和里奇张量相等. 简单地说，黎曼曲率描述的是引力场，黎曼张量只是反映时空几何，描述引力场的是度规里奇张量，是黎曼张量的缩并、缩约.对这种“缩并力”，彭罗斯再解释说，爱因斯坦方程存在一个称作能量----动量的张量，它将有关的物质和电磁场的能量、压力和动量都组织在一起.他把这一张量叫做能量，爱因斯坦方程则粗略是：里奇=能量.

正是在能量张量中“压力”的出现，以及为使整个方程协调的条件要求，使得压力对体积缩小效应有所贡献.那么不涉及韦尔张量吗？不是的.韦尔张量引起空虚的空间里感受到潮汐效应，爱因斯坦方程意味着存在将韦尔张量和能量相联系的微分方程的结合结构域.

彭罗斯对这种韦尔张量重要性的推证，实际上是反过来又把部分里奇张量效应包含在韦尔张量中.但彭罗斯正如牛顿没有解决好韦尔张量超距的引力潮汐畸变一样，也没有解决好里奇张量的超距作用.

因为物体在圆周运动的对称点，里奇张量也有类似对称超距的引力.这种作用传输是隐形的，可以是光速，也可以是超光速.但彭罗斯继续阐述了里奇张量和韦尔张量这种结合结构域的产生原理，他说要理解该结合结构域，还可以射影麦克斯韦的电磁场方程电场E和磁场B的结合结构域.因为韦尔张量韦尔实际是引力场的测定；韦尔的“源”是能量张量，这与麦克斯韦的电磁场的电场E和磁场B的源，是麦克斯韦电磁场理论的电荷和电流的结合结构域的情形相似.

这种观点实际是将“麦学”引向“里奇张量”和“里奇流”统一的结合结构域；这里“电荷”对应里奇张量圆周运动的“源”效应，是类似彭罗斯的“扭量球”图像.“电流” 类似“里奇流”，对应韦尔张量平移运动的“流”效应，可联系类似傅里叶级数、泰勒级数展开式变换的“孤子链”，以及隐形传输与宇宙弦.

1913年爱因斯坦在维也纳的一次学术会上提出下列观点：“关于电的性质的研究仅仅涉及到电荷.这些电荷互相吸引和排斥的力，是众所周知的，它们像牛顿的万有引力那样随着距离的增加而减少.后来又发现了电流，进而发现了电磁感应也会形成电流.引起工业发展的时刻，没有人曾会想到，这一切居然是从这种简单的电荷吸引作用发展出来的.在引力理论问题上我们仍然处于这种起步的阶段上，我们所熟悉的只是物体之间相互吸引的牛顿定律.我们应当创造出一种引力理论，它不同于简单的万有引力定律，并与其非常疏远.”

随之1916年广义相对论诞生了.爱因斯坦认为牛顿超距的万有引力论是没有物理机制的哲学概念.他认为引力的来源是物质(中心天体)在它存在的空间里，产生了广延性弯曲的引力场.这种引力场否定了牛顿超距的万有引力作用.广义相对论提出的弯曲时空的几何引力场是认识论的一大进步.

牛顿临离开人世的前一年（1726年）在《原理》第三版的“总释”中向人类作了谨慎地声明：“迄今为止我们以引力作用解释了天体及海洋的现象，但还没有找出这种作用的原因.它当然必定产生于—个原因……”.牛顿临离开人世的这段话，以科学的态度表明了他的反思，希望人类去寻求宇宙演化动力的新途径.爱因斯坦提出的弯曲时空的几何引力场，发展了引力理论.“广延性”思想虽然只是一种用纯几何学理论的虚拟物理形式而缺乏物理机制，但这种弯曲时空的几何引力场构想是人类探求宇宙大道的的重大成果.

马赫认为时间和空间的几何不能先验地确定，而应当由物质及其运动所决定.这个思想直接导致用黎曼几何来描述存在引力场的时间和空间，并成为写下引力场方程的依据．爱因斯坦的这一思想是从物理学家E．马赫对牛顿的绝对空间观念以及牛顿的整个体系的批判中吸取而来的．在爱因斯坦的《相对论》一书的第170页中写道:“类似的，在经典力学{或狭义相对论}中，为什么相对于参考系K和K₁来考虑时物体会有不同的表现这一问题，我没有找到什么实在的东西来说明．牛顿看到了这个缺陷，并曾试图使它趋于无效状态，但是没有成功．只有马赫看得最清楚，正因为如此，他宣称必须把力学放在一个新的基础上．借助与广义相对性原理一致的物理学，我们能够消除这一缺陷，因为这一理论的方程，对于不论其运动状态如何的一切参考物体，都是成立的.

爱因斯坦基于惯性质量与引力质量相等的一些事实，提出非惯性系与引力场等效的“等效原理”假设.从而可以将非惯性系问题转化为熟知的惯性系问题处理.于是可以把狭义相对性原理进一步推广到任意参考系，导致广义相对性原理的提出：一切物理规律在任意参考系间等价.这说明了物体运动规律（以数学形式表述）的绝对性.它不因人们的观察角度（即参考系选择）而改变（在哲学上可以说这是物质运动绝对性的一种表现）；也更广泛地说明了宇宙中没有特殊的时空存在，进一步否定了经典理论中“绝对静止时空”的存在.这时，代替洛仑兹变换的将是广义坐标变换（坐标的一种非线性变换）.

闵可夫斯基的发现对于希望统一狭义相对论和牛顿力学的爱因斯坦来说是一个很大的启发.当时这两个理论是不兼容的.所有的信息不能超光速传递，这是狭义相对论的要求.可是牛顿力学是要求超距作用的，太阳重力场影响地球的转动，是同一个时间，根本不用光速，它就传达到地球来了.前者要求信息低于光速传播，而后者要求超距作用.爱因斯坦对这两个理论矛盾的研究引入了等效原理，提出运动方程由等效原理决定：引力定律不受观测方式或坐标选择的影响.通过思想实验他意识到，描述重力的位势依赖于方向.爱因斯坦在思索这应该是何种类型的量时，他的数学家朋友马塞尔·格罗斯曼（MarcelGrossman）告诉他，他所需要的数学概念应该是黎曼几何中的某个张量，类似于牛顿力学，重力场运动方程包含位势的二阶导数，这个量也应该与坐标选择无关.张量的概念产生于19世纪末，由克里斯托费尔(ChristoffelElwinBruno）提出.随后，爱因斯坦邀请数学家格罗斯曼帮忙.格罗斯曼在全世界最好的图书馆——哥廷根图书馆，发现由19世纪的意大利几何学家里奇（Ricci）引入的里奇张量恰好符合这些特性.里奇张量是黎曼曲率张量的二次缩并得出來的张量.这个发现发表在爱因斯坦和格罗斯曼于1912年和1913年合写的两篇论文中.他们用里奇张量定义空间中物质分布的物质张量.将广义相对性原理（其数学形式是广义协变原理）与最小作用原理结合，可以导出宇宙中的引力场方程.从中可以看出时间、空间性质与物质及其运动的具体的相互依赖关系.极大地丰富了辩证唯物主义关于“时间和空间是运动着的物质的存在形式”的论断.

物质密度越大的区域，统一时空弯曲的曲率越大（这表现为空间越弯曲；时间流逝越慢）.所以时空的特性（间隔、弯曲程度等）不但与运动状态有关，还与物质本身分布有关.

三维空间的“弯曲”.可以通过几何测量违反欧氏几何发现.例如，由于光线的弯曲，导致两点间的最短距离不是由直线测量，而是由曲线（“测地线”）测量.所以对于四维时空结构的弯曲，要用非欧几何——黎曼曲面几何学描写.时空将构成“四维黎曼时空连续区”.采用曲线坐标系——高斯坐标系描写（由四族曲线构成曲线网——类似地球表面二维的经纬线相交——组成的曲线坐标系）.

时间流逝快慢与物质密度（或引力场强度）的关系，可用本征时间的公式说明.

式中dt与引力势ψ=0区域对应.由于，所以只要（有引力场），，表明时间流逝变慢，且越大（引力场越强或物质密度越大），时间流逝越慢.显然，在时空的极小区域，它将退化为欧氏几何的直角坐标系.广义相对论时空观在极限情况下可以过渡到狭义相对论以及经典的时空观.体现了新理论对旧理论的扬弃关系.还须指出，虽然时空结构的均匀性在局部区域看破坏了.但从大尺度看，宇宙学原理仍然成立.现代宇宙学的一些观测支持这一看法.１９５５年，物理学家玻恩在一次报告中评价道：“对于广义相对论的提出，我过去和现在都认为是人类认识大自然的最伟大的成果，它把哲学的深奥、物理学的直观和数学的技艺令人惊叹地结合在一起.”德布罗意（LouisdeBroglie，1892－1987）在《阿尔伯特·爱因斯坦科学工作概况》中谈到广义相对论时说：“依靠黎曼（G·Riemann，1826-1866）的弯曲空间理论，借助于张量运算，广义相对论提出一种万有引力现象的解释，这种解释的雅致和美丽是无可争辩的，它该作为20世纪数学物理学的一个最优美的纪念碑而永垂不朽.”１９８３年诺贝尔物理学奖获得者昌德拉塞卡说得更清楚：爱因斯坦是“通过定性讨论一个与对于数学的优美和简单的切实感相结合的物理世界，得到了他的场方程.”相对论实在可以说是对麦克思韦和洛伦兹的伟大构思画了最后一笔，因为它力图把场物理学扩充到包括引力在内的一切现象.爱因斯坦在1905年发表了狭义相对论公式之后的几十年内，他就对数学的各个领域烂熟于心了，而同时代的大多数物理学家则对这些领域知之甚少甚至一无所知.在他迈向广义相对论的最终等式的过程中，在将这些数学结构同他的物理学直觉结合在一起这个方面，爱因斯坦展示出了罕见的天赋.

广义相对论理论的核心是新的引力场定律和引力场方程.有人说，麦克斯韦在电磁场上做过什么工作，爱因斯坦在引力场也做过什么工作.广义相对论引人注目的特征之一是将牛顿力学中的引力简化为四维时空中的弯曲，“宇宙图景”的新情景不再是“三维空间中一片以太海洋的受迫振动”，而是“四维空间世界线上的一个纽结”.1914年爱因斯坦与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守广义协变性要求的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是爱因斯坦—格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是真空光速不变这一附加条件；爱因斯坦—格罗斯曼理论包含着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲.广义相对论具有最简单，最优雅的几何基础（三个公理：(1)具有度规；（2）度规由爱因斯坦方程G=8πT支配;（3）在度规的局部洛伦兹标架中所有狭义相对论的物理规律是正确的）.

彭罗斯在《皇帝新脑》一书中,首先明确地说：a）韦尔(Weyl)张量，是囊括类似平移运动的相对加速度，在单向的对球面客体的拉长或压扁作用.这与直线或不封闭曲线运动的牛顿力学和韦尔曲率的潮汐形变等对应.b）里奇（Ricci）张量，是当球面客体有被绕着的物体作圆周运动时，整体体积有同时向内产生加速类似向心力的收缩或缩并、缩约作用.即物体的质量密度或等效的能量密度（E＝ｍｃ²），应该和里奇张量相等.由此爱因斯坦广义相对方程式R_uv-（1/2）g_uvR=-8πGT_uv，左边第一项R_uv里奇张量，属全域整体收缩效应的作用量.其余式中R是里奇张量的迹；g_uv是对距离测度的空间几何度量张量；G是牛顿引力常数；T_uv是刻画能量、动量和物质性质的张量；1/2、8、π是常数.左边第二项（1/2）g_uvR，实际代表针对背着回旋卫星那一半星球的里奇张量收缩效应的作用量.等式右边的8πGT_uv，实际属可计算和测量的引力作用量；负号指引力向着球心.

2.1广义坐标变换

       设一个时空区域同时被旧坐标系和新坐标系所覆盖，其中，c是光速，t与t’是时间.新旧坐标之间的关系可表示为                          （1），

每一个新坐标都是四个旧坐标的函数.微分（1）式，得到广义坐标变换下微分的变换关系                                            （2）

这里采用了爱因斯坦惯例.（2）的逆变换为     （3）

定义在坐标变换中不变的量为标量.在广义坐标变换下，向坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量，                               （4）

在广义坐标变换下，变换规律为                 （5）的量称为协变矢量.容易看出，逆变和协变矢量都有四个分量组成.在广义坐标变换下按

变换的量分别称为逆变张量、协变张量、混合张量.

2.2.张量的运算：

                                                         （9）

                                                           （10）

缩并运算：                                                      （11）

2.3度规张量

在四维时空中，我们把两点间的距离推广为“间隔”.在直角坐标系中，它可表示为                                          （12）

间隔的平方应与坐标微元的二次方有关                 （13），

但左边是标量，而右边是逆变矢量，必须让坐标微分元与一个二阶协变张量缩并                                                      （14）

张量称度规张量共十六个分量，可用矩阵表示

                                             （15），

它是一个对称张量.

2.4时间与空间

在广义相对论中，跟据等效原理，可对时空中的任意观测者A引入相对于他瞬时静止的互补惯性系B，并仿照狭义相对论，定义静止于B系中的“真实钟”为坐标钟，它所记录的时间为惯性系中所固有的时间.

由狭义相对论系B的固有时间为          (16)

微分几何告诉我们                                       （17）

所以，我们可以合理的定义观测者A的固有时间图3观测者A与B

                                          （18）

的世界线

下面我们来考察相对于某一个坐标系静止的观测者，寻找它的坐标时间和固有时间之间的关系.

由（12）和（18），不难得到此关系为

               （19）

在图4中，假定A与B空间相邻点，光信号从B射向A，再从A射向B，所需坐标时间为

                                （20）

未假定光速的各向同性，所以不一定等于，在B引入局部惯性系相应的固有时间为

图4固有距离的测量                                     （21）

在局部惯性系中，光速各向同性等于c，因此，两相邻点的纯空间距离为

                                                 （22）

此即用标准尺测得的纯空间距离.

由               （23）

得                             （24）

代入（21）可得（25），其中是纯空间度规.

2.5短程线

A、B之间的一根曲线长度可用积分给出                        （26），

由变分原理得到                                           (27)

沿曲线人选一个标量参数并注意到上式可写为（28）

其中拉格朗日函数L=                                   （29），

而广义速度

将（29）带入拉格朗日方程                           （30），

可得短程线方程                                  （31）

它也是广义相对论中的运动方程.1915年11月25日，爱因斯坦在《引力场方程》论文中，给出了引力场方程的完整形式：R_μν＝－k（T_μν－0.5g_μνT），R_μν是黎曼曲率张量，T_μν是能量动量张量.

回到广义协变原理之后，爱因斯坦在1915年10月与11月，集中精力探索新的引力场方程.先后于11月4日，11日，18日和25日，每周一次，一连四周向普鲁士科学院递交了四篇论文.在11月4日的论文中，他提出了废弃1913年提出的场方程的原因.这些理由在11月28日写给索末菲的信中，提得更加明确.他说：“我认识到，到现在为止，我的引力场方程是完全站不住脚的.关于这一点，有如下线索：（1）我证明了，在一个均匀转动的参照系中，引力场并不满足场方程.（2）水星近日点进动每一百年不是18″而是45″.（3）在我去年的论文中，协变的考察没有提供哈密顿函数H.如果把它加以适当推广，它就会允许任意的H，于是，要适应坐标系的协变，是徒劳无功的.在对以前的讨论结果和方法失去一切信心之后，我清楚地看到，只有与普遍的协变理论，即黎曼协变理论联系起来，才能得到令人满意的解决.”摆脱了引力场方程只能在线性变换下协变的限制之后，广义相对论的进展来自于爱因斯坦对张量的重新认识.他保留了“对泊松方程推广”的原有形式.但现在他认为牛顿引力理论的泊松方程▽²φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量T_μν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量g_μν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程：R_μν-g_μνR/2=8πGT_μν/c⁴，其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R为标量曲率张量.引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想.大约在公元前387年，希腊哲学家柏拉图认为，几何学研究是通向认识宇宙本质的道路.

2.6场方程

时空曲率=能量动量（32）物质的能量动量可写成二阶张量.时空曲率可写成.可以把曲率张量缩并，得到一个二阶张量

                                                 （33），

称Ricci张量，它是对称张量，有十个独立分量.代入（32），

                                                            (34)

用逆变张量写出就是                                        （35）

应满足能量—动量守恒定律

                                                          （36）

由                           （37）

此式用三维空间的矢量写出来就是

其中是能量密度，是能流密度，M是动量密度，三维空间的张量（i，j=1，2，3）是动量流密度.（38）、（39）分别是能量和动量守恒定律.

（36）要求（35）左端满足.但这一般不可能.

由毕安基恒等式                        （40）

R称曲率标量因此，如果把方程（34）、（35）改写成

                         （41）

                         (42)

矛盾就消除了.这两个方程就是爱因斯坦给出的广义相对论的基本方程——场方程.它们通常称为爱因斯坦场方程，反映物质的能量—动量如何决定时空曲率.引力场的表达式中起参量作用的物理量数目比牛顿引力理论中的要多．其中不但有引力质量，还有电荷、磁荷、电的(或磁的)偶极矩、宇宙常数等等，其中只有引力质量是广义相对论和狭义相对论所共有的引力参量．

由于有物质的存在，空间和时间会发生弯曲，而引力场实际上就是一个弯曲的时空.爱因斯坦根据这一结论，给出了著名的引力场方程式：

爱因斯坦引力场方程是二阶的，以时空为自变量，以度规为因变量的，带有椭圆型约束的双曲型偏微分方程.当然，爱因斯坦的这个引力场方程并非完美，在具体计算中，使用的只是一个近似解，而真正的球面对称的准确解——史瓦兹解，是在此之后才找到的.

广义相对论认为:一个物体使自已周围时空弯曲，另一物体在弯曲时空中沿短程线运动，这就是引力的本质.由广义相对论引力场方程和短程线方程，在线性近似下得到另一组方程                                            (1-3)，

                                                        (1-4)

这组方程成功解释了行星近日点的移动.光子经过太阳附近时受到太阳的吸引而改变方向，由(1-3)—(1-4)式求出的光偏折角是牛顿理论预期值的一倍.实际观察结果是与广义相对论一致，爱因斯坦取得巨大胜利.随后人们观察到从太阳发出的光线到达地球时其频率由变为，                                   (1-5)

广义相对论用引力势场中不同点时间间隔不同解释了这个实验结果.所以人们认为上述三个经典相对论引力实验支持广义相对论，并且进一步得到时空是弯曲的结论.广义相对速度表达式_，式中表明，近处物体或大质量物体对研究物体的广义相对速度影响较大.一个小质量物体A从远处靠近一个大质量且广义相对速度不为零的物体B，如果它相对B的速度不变，那么它的广义相对速度必然发生变化.然而在不受力的作用、物体处于惯性运动的情况下，它的广义相对速度是保持不变的，所以上面所说的过程，A相对B的速度要发生相应的调整.定性分析得知，A接近B时，为了保证A的广义相对速度不变，A、B之间的相对速度必将减小，从而可以说，大质量的B部分地同化了小质量的A的运动速度.当然，A也部分地同化了B的运动速度，只是质量比例很小而表现得更加微弱.

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用.在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何.在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的.在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的.黎曼张量和物质能量-动量张量间的关系

1927年爱因斯坦等人提出，质点系统的运动方程应该包括在引力场方程之中.1938年，爱因斯坦及其合作者完成了这一理论.他们采用后来称为后牛顿近似的方法，在对质点系能量动量张量的简单假定下，从引力场方程中推导出了质点系的运动方程，这就是著名的广义相对论的运动理论.50年代以来，一些物理学家指出，质点运动方程也可以直接从能量动量张量的守恒定律推导出来.A.巴巴别特鲁由运动理论导出了自旋粒子会受到的自旋和曲率的耦合项.

引力场方程包含着粒子运动方程，这是广义相对论的一个重要特点.60年代以来，彭罗塞等人系统地运用整体微分几何的方法来研究广义相对论.彭罗塞和霍金等人建立的奇性理论，提示了广义相对论时空结构的重要性质和问题.

不过Penrose与Hawking等人的方法虽然不需要直接求解场方程，但它与描述物质分布的能量动量张量的性质仍有着密切的关系.这一点从物理上讲是显而易见的，因为正是物质的分布决定了时空的结构.

黎曼关于度规、距离法则决定了一种几何学的思想，对于广义相对论的创建有着特殊的启发力.度规张量表征着弯曲空间的内禀性质，协变导数解决了弯曲空间中的矢量求导和无穷小平移问题，仿射联络能恰当刻画弯曲空间矢量的平移性质与度规张量（空间内禀性质）之间的确定联系，黎曼联络是引力势对坐标偏微分（变化率）的组合，体现着引力场的分布等等.联络解决了弯曲空间中不同时空点测量标尺的差异和可换算性问题，后来成为规范场理论思想的一个源头.宇宙奥秘深藏于数学规律的毕达哥拉斯主义理念，在爱因斯坦的引力场论中被具体化和精细化了.爱因斯坦曾经把他的场方程比喻为一座建筑，这座建筑的一半是用精美的大理石砌成的，另一半却是用劣质的木材建造的.用精美的大理石砌成的那一半是方程的左端：R_μν-(1/2)g_μνR，那是一个描述时空结构的优美的几何量，被称为爱因斯坦张量.而用劣质木材建造的那一半则是方程的右端，也就是描述物质分布的能量动量张量：8πGT_μν.为什么说这部分是用劣质木材建造的呢？因为自然界的物质分布种类繁多，物态方程千差万别，找不到一个普适的能量动量张量来描述所有已知的物质分布.不仅如此，在广义相对论所涉及的许多极端条件(比如某些星体内部的超高温、超高压、超高密度等条件)下还可能存在大量未知的物质形态与分布，而且所有这些物质分布还可能在空间及时间上相互混合.广义相对论存在三种解释.首先，爱因斯坦把可称重物体看作完全决定引力场与时空的几何结构的唯一物理实在，引力场方程真空解的发现使得这个解释站不住脚.尔后，外尔和爱丁顿提出了另一种观点：时空的几何结构被视为物理实在，而引力场可约化为这个几何结构，称作强几何纲领.爱因斯坦从不欣赏这个纲领，后来爱因斯坦在统一场论中把引力场看作代表终极物理实在的整体场的一部分，时空是整体场的结构属性，称作弱几何纲领.