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重新认识三体问题

1.三体问题的由来

1900年数学家希尔伯特提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用.在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现.为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马猜想，即代数方程xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时是没有整数解的；第二个就是N体问题的特例------三体问题.值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单.但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大.

希尔伯特指出，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而N体问题则来源于天体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象的理解.N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动.最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动.在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点.如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题.我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念.所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解.然而对N体问题的全面认识就不是那么简单了，数学家几百年以来的研究证明各种千奇百怪的运动都有可能在N体问题中出现.

事实上，根据Newton万有引力定律和Newton第二定律，我们可以得到:

m₁(d²q_1i/dt²)=km₁m₂/(q_2i-q_1i)(r³₁₂)+km₁m₃/(q_3i-q_1i)(r³₁₃)，m₂(d²q_2i/dt²)=km₂m₁/(q_1i-q_2i)(r³₂₁)+km₂m₃/(q_3i-q_2i)(r³₂₃)，m₃(d²q_3i/dt²)=km₃m₁/(q_1i-q_3i)(r³₃₁)+km₃m₂/(q_2i-q_3i)(r³₃₂)，(i=1,2,3)，其中m_i是质点的质量，k是万有引力常数，r_ij是两个质点m_i和m_j之间的距离，而q_i1,q_i2,q_i3则是质点m_i的空间坐标.所以三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶常微分方程组再加上相应的初始条件.(事实上根据方程组本身的对称性和内在的物理原理，方程可被简化以减少变量个数).而N体问题的方程也是类似的一个N²个方程的二阶常微分方程组.

2.三体问题的研究进展简要回顾

至于三体问题或者更一般的N体问题(N大于二)，在被提出以后的二百年里，被十八和十九世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的.尽管在失败的尝试中微分方程的理论被不断地发展成为一门更成熟的数学分支，但是对于这些发展的源头-----N体问题，人们还是知道的太少了.

庞加莱的论文“关于三体问题的动态方程”最后在1890年在ActaMathematica上发表，论文长达270页，占了整整半卷杂志.(关于论文发表的一段故事下面还要提到).这篇重要论文使原来就已有不小名气的年轻庞加莱更加誉满整个欧洲数学界，也使他得到了新的热情和动力继续进行他在这篇论文中开始的工作.从1892年到1899年，庞加莱陆续出版了他的三大卷宏伟巨著“天体力学的新方法”.他的获奖论文和这三卷书可以说奠定了现代天体力学，动力系统，微分方程定性理论，甚至混沌理论的基础，尽管大多数他的思想直到几十年后才被广大的数学工作者所领悟进而发展成现代的数学理论.

第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分.也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度，把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想.

第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具.例如他完整地提出了不变积分的概念，并且使用它证明了著名的回归定理.另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象.还有象特征指数，解对参数的连续依赖性等等.所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念.

第三点，也许是最重要的一点，是庞加莱通过研究所谓的渐进解，同宿轨道和异宿轨道，发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运.事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形和不稳定流形正态相交所引起的同宿交错网，而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌.庞加莱的发现可以说是混沌理论的最早起源了.

例1宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m.(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.

(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?

答案(1)       (2)

解析(1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据Newton第二定律和万有引力定律有:F₁=，F₁+F₂=mv²/R.运动星体的线速度:v=，周期为T,则有T==4π

(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为R′=

由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和Newton运动定律有：

F_合=cos30°，F_合=mR′

所以r=R

现代物理学和天文学中大多数多体问题，往往是其中两个物体间的相互作用比其它作用要强得多，因而就可先将这两个物体按两体问题处理，而把其它物体对它的作用看做扰动进行修正，因此在太阳系中一般选择太阳作为参照系.三体问题求解难度大，现代物理学认为其无解析解，暴露了西方科学还原论的局限性，科学发展可能需要寻求新的方向，同时三体问题没有考虑到万有引力的反作用——弱相互作用.

笔者认为三体问题肯定无解.

物理学家惯用的一个观点往往是还原论.所谓还原论，就是将世界分成许多小的部分，每一部分研究清楚了，最后拼起来问题就解决了.这个观点是很自然的，物理学家过去受到的是这个训练，基本上就接受这一观点.有很多著名的科学家支持这个观点，Einstein讲过：“物理学家的无上考验在于达到那些普适性的基本规律，再从它演绎出宇宙”.如果我们把世界基本规律搞清楚了，那么就一切事情都解决了.美国著名的未来学家托夫勒说过：“西方人善于拆零，即把事物分成很小的细部，他们十分擅长此技，以至于忘了把它们装起来.”一直以来，西方盛行还原论思想，即认为整体即是部分之和.在十九世纪时，西方科学在还原论思维方式的指导下获得了巨大的成就，Newton经典力学的建立，使当时的物理学界形成了这样一种认识，即物理学的研究已经接近终点，未来的学者只需在现有理论基础上做些修补工作就行了.在还原论思想的统治下，西方哲学思想最终走向了机械决定论.拉普拉斯就声称，如果有一个智能生物能确定从最大天体到最轻原子的运动的现时状态，就能按照力学规律推算出整个宇宙的过去状态和未来状态.著名理论物理学家狄拉克在量子力学初步建立之后说：“现在量子力学的普遍理论业已完成，作为大部分物理学与全部化学的物理定律业已完全知晓，而困难仅在于把这些定律确切地应用将导致方程式太繁杂而难以求解”.他的意思是基本的物理规律已经知道了，下面似乎就是一个求解的问题，至于求解，由于方程过于复杂，似乎有些问题还解不出来.