• 文章介绍

在数学的深邃海洋中，Yang–Baxter-like矩阵方程 (YBME) 一直是连接统计力学、量子群与非交换几何的重要桥梁。如何求解这一方程，并揭示其解的结构特征，始终是应用数学领域的热点与难点。

近日，北京航空航天大学数学科学学院李红裔教授及其研究团队在国际知名期刊 Mathematics 上发表了题为“Properties of Invertible Solutions of the Yang–Baxter-like Matrix Equation for Nonzero Singular Matrix”的研究论文。该研究针对系数矩阵为非零奇异矩阵这一特定情形，深入探讨了方程可逆解的性质，建立了可逆解必须满足的必要条件。

• 核心突破：定理与推论

李红裔教授团队的研究成果，不仅填补了现有文献中关于一般奇异系数矩阵研究的空白，更为判断一个可逆矩阵是否为该方程的解提供了高效的理论依据。

基于团队的研究，我们梳理了本次成果的四大核心亮点：

1. 锁定“初等因子”数量：

研究证明，当系数矩阵 𝐴 是一个秩为 𝑠 (1≤𝑠<𝑛) 的非零奇异复矩阵时，其可逆解 𝑋 必须拥有至少两个初等因子。这一发现直接排除了大量结构简单的矩阵成为解的可能性。

2. 揭示指数与秩的关联：

团队进一步推导出，可逆解的初等因子指数之和与系数矩阵的秩之间存在深刻的内在联系。

推论1： 若可逆解仅有两个初等因子，则至少有一个初等因子的指数等于系数矩阵 𝐴 的秩。

推论2： 对于拥有多个初等因子的可逆解，其初等因子的指数集合中，必然存在一个非空真子集，该子集内所有指数之和恰好等于系数矩阵 𝐴 的秩。

3. 针对秩1矩阵的特例分析：

研究特别指出，当系数矩阵为秩1矩阵时，其任何可逆解的初等因子中，必然包含一个次数为1的初等因子。这一结论严格限制了此类方程解的Jordan标准型结构。

4. 降低计算复杂度：

在实际计算中，传统的定义法验证 𝐴𝑋𝐴=𝑋𝐴𝑋 往往面临 𝑂(n3) 的高计算复杂度。团队的研究成果提供了一种“筛选机制”：通过计算待测矩阵的初等因子，若不满足上述条件 (如初等因子仅有一个)，则可直接判定其不是该方程的解，从而避免了昂贵的矩阵乘法运算。

• 实证支持：数值验证

为了验证理论的普适性，团队在论文中精心设计了三个数值算例：

秩为1的4阶矩阵：验证了解的初等因子结构符合“至少两个”的定理要求。

秩为2的3阶单位矩阵：通过具体计算，证实了初等因子指数之和与矩阵秩的一致性。

源自文献的秩1矩阵：再次印证了理论推导的正确性。

• 结语：展望未来

李红裔教授团队的这项工作，不仅深化了学界对Yang–Baxter型矩阵方程解结构的理解，更为后续寻找显式解提供了重要的理论指导。目前，团队正致力于通过分类讨论等方法，对该方程可逆解的初等因子数量进行更精确的估计，并探索特定可逆解的显式表达。

• 作者介绍

姓名：文湘辉博士研究生

机构：北京航空航天大学数学科学学院

研究方向：矩阵方程的求解及应用，数值线性代数

姓名：赵迪教授/博士生导师

机构：北京航空航天大学数学科学学院

研究方向：矩阵方程的求解及应用，数值线性代数

姓名：李红裔教授/博士生导师

机构：北京航空航天大学数学科学学院

研究方向：矩阵方程的求解及应用，数值线性代数

姓名：潘成伟副教授/博士生导师

机构：北京航空航天大学人工智能学院

研究方向：智能感知、计算机视觉、三维重建、医学图像分析与处理、大模型应用与安全

阅读英文原文：https://www.mdpi.com/2227-7390/14/10/1616

• Mathematics 期刊介绍

主编： Francisco Chiclana, School of Computer Science and Informatics, De Montfort University, UK

期刊主题涵盖纯数学和应用数学所有领域，重点发表代数与逻辑、几何与拓扑、数学分析、统计与运筹学、应用数学，包括数学与计算机科学、控制理论与力学、数学生物学、数学物理、金融数学等数学在其他各学科应用的文章。现已被SCIE (Web of Science)、Scopus等重要数据库收录，连续8年稳居JCR Q1，JCR category rank: 28/492。

2025 Impact Factor：2.3

2025 CiteScore：5.4 

Time to First Decision：17.4 Days

Acceptance to Publication：2.8 Days

期刊主页：https://www.mdpi.com/journal/mathematics

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