囚徒困境、鹰鸽博弈、猎鹿博弈等经典模型，被用来刻画人类不同的互动决策。这些模型常把人的选择写成“合作”或“背叛”两个选项。但真实互动远远复杂：努力有大小，索取有强弱，冲突有高低，真实互动张满了行动空间。本文提出线性二元博弈框架，将经典二人二策略博弈放入连续行动空间，使四个离散行动组合成为方形空间的四个角，并在内部刻画不同程度的合作、背叛与过渡状态。更重要的是，本文用收益变化的方向描述竞争、互利和剥削，在同一套数学框架中比较这些概念。该框架帮助理解囚徒困境、鹰鸽博弈、猎鹿博弈、智猪博弈等经典模型的关系，为分析社会与生物系统中的真实相互行为提供新工具。

中文标题：用连续博弈看见人类互动的相互关联

英文原题：A unified continuous framework for two-player two-strategy games: Game-theoretic analysis of interactions

通讯作者：

杨晓光，中国石油大学（北京）

第一作者：

费孝虎，中国科学院大学

关键词：相互作用；线性二元博弈；连续行动空间；二人二策略博弈；竞争、互利与剥削

【真实互动，不只是只有两个按钮】

在课堂上，囚徒困境常被写成两个选择：合作，或者背叛。鹰鸽博弈也常被写成两个选择：进攻，或者退让。这样的模型非常清楚，能抓住许多社会冲突和生物竞争的核心结构。

但现实通常没有这么整齐。一次小组合作中，一个人不是只能“全做”或“不做”，而是可以多做一点、少做一点；两个企业竞争时，也不是只能“彻底开战”或“完全克制”，而是存在价格、投入、让步和冲突强度的连续变化。真实世界中的行动更像一条刻度，而不是两个按钮。

【把经典博弈放进连续空间】

本文提出的线性二元博弈，就是为了把经典二人二策略博弈放进一个连续行动空间。可以把这个空间想象成一个方形：四个角对应经典博弈中的四种离散行动组合，例如双方合作、我合作你背叛、我背叛你合作、双方背叛；而方形内部则表示介于这些极端选择之间的连续行动。

本文这个连续框架保留了经典博弈的重要结构，使离散模型和连续模型不是彼此无关的两套东西，而是同一个博弈结构的两种表达方式。换句话说，经典博弈给出了四个关键端点，而连续博弈让我们看见端点之间发生了什么。

【真正重要的是：行动之间的影响得以明晰】

连续化的意义不只是让互动模式之间更平滑，而是让我们能追问一个更细的问题：当一方朝着对自己更有利的方向调整行动时，另一方的收益会怎样变化？

如图 1 所示，如果一方改善自身收益时，另一方往往受损，这就是竞争；如果一方改善自身收益时，另一方也受益，这就是互利；如果关系呈现明显不对称，例如一方改善自己会损害对方，而对方的努力反而帮助前者，那么这种结构就表现为剥削。这样，竞争、互利和剥削不再只是日常语言中的形容词，而可以被放进同一套收益关系中分析。

图1：相互作用如何由收益变化刻画。

图中从收益变化方向出发，观察一方朝着对自己更有利的方向调整时，另一方收益是上升还是下降。竞争、互利和剥削对应不同的收益关系组合。

【熟悉的博弈，有了新的读法】

图 2 展示了几个典型二人二策略博弈在连续空间中的相互作用。囚徒困境并不只是“合作为什么困难”的故事，它还说明：即使人们努力寻找合作结果，双方在收益关系上仍可能处于竞争结构中。鹰鸽博弈则揭示了资源争夺中的另一面：在争夺资源时双方竞争，但冲突升级也让双方共同受损。猎鹿博弈中，共同猎鹿时互利，退而猎兔则转向竞争。智猪博弈更强调不对称处境：当一方承担启动机制的成本，另一方更容易分享收益、却较少承担成本时，就可能形成剥削。

图2：典型二人二策略博弈的相互作用。

方形表示连续行动空间，四个角是经典二人二策略博弈的离散行动；空间内部包含合作域、背叛域和中间过渡状态。颜色表示相互作用类型。同一博弈在不同区域可能呈现竞争、互利或剥削关系，连续化的意义正在于刻画这些相互作用。

这些例子说明，同一个博弈在不同区域可能呈现不同相互作用；不同经典博弈之间，也可以通过相互作用类型建立联系。过去看起来分散的囚徒困境、鹰鸽博弈、猎鹿博弈、性别战和智猪博弈，可以被放进同一个连续框架中重新理解。

【从课堂模型到真实世界】

这项工作并不是要替代经典博弈，而是为经典博弈补上“连续变化”和“相互作用类型”这两个维度。它让我们在二选一之外，看见程度、方向和强弱；也让我们在合作与背叛之外，看见竞争、互利和剥削。

因此，这项工作的意义不只在于提出一个新的数学模型，更在于提供一种新的观察方式：从社团分工到企业竞争，从物种共生到资源争夺，许多真实互动都不是非黑即白的选择，而是连续变化的关系。理解这些关系，能帮助我们更细致地看见竞争中的合作、合作中的冲突，以及某些制度或关系中不容易被发现的不对称结构。

主要作者简介

杨晓光     中国石油大学（北京）资深教授/中国科学院数学与系统科学研究院研究员/中国系统工程学会理事长，研究方向包括风险管理、数字经济与博弈论，已发表学术论文300余篇。

费孝虎     中国科学院大学运筹学与控制论硕士，研究方向为博弈论。

引用本文

Xiaohu Fei, Xiaoguang Yang. A unified continuous framework for two-player two-strategy games: Game-theoretic analysis of interactions. Fundamental Research, 6 (3) (2026) 1343-1359.

原文链接（复制到浏览器中查看）：

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2667325825003012

关于Fundamental Research

Fundamental Research是由国家自然科学基金委员会主管、主办的综合性英文学术期刊。创刊于2021年，期刊立足反映国家自然科学基金资助的优秀成果，全方位报道世界基础研究前沿重要进展和重大创新性成果，提升中国基础研究和中国科学家在国际科学界的显示度和影响力，为中外科学家打造一个高端的国际学术交流平台。内容涵盖数学物理、化学化工、生命科学、地球科学、工程与材料科学、信息科学、管理科学、健康医学、交叉科学等领域，设置Article、Review、Highlight、Perspective、Commentary、Letter和News&Views等栏目。期刊已被ESCI、Scopus、DOAJ、PubMed、CAS（美国化学文摘社）、CSCD（中国科学引文数据库）、CSTPCD（中国科技论文与引文数据库）、OAJ（全球OA期刊索引）、以及COAJ（中国开放获取期刊数据库）等国内外知名数据库收录。2025年入选《FMS管理科学高质量期刊推荐列表》B区。2025年影响因子7.0，位于综合性期刊Q1区。2024年入选中国科技期刊卓越行动计划二期英文梯队期刊项目。欢迎广大科研工作者关注、投稿、引用！

支持单位：