近期，大连理工大学建设工程学院陈献团队在Journal of Dynamic Disasters发表题为“Numerical analysis of axial vibrations for a continuum model of a one-dimensional rod with a tuned mass damper”的原创研究论文。该工作面向结构振动控制中调谐质量阻尼器（tuned mass damper, TMD）与连续结构耦合建模问题，建立了一维杆TMD系统的连续体力学模型，并基于Hamilton原理推导出包含偏微分方程（partial differential equation, PDE）、动力边界条件（dynamic boundary condition, DBC）、常规边界条件和初始条件的运动方程体系。针对该问题难以获得解析解的特点，作者系统比较了平均加权残值法（Mean Weighted Residual, MWR）、Ritz方法、有限元法（Finite Element Method, FEM）和集总质量法（Lumped Mass Method, LMM）的适用性，并通过MATLAB/Simulink数值实验表明，FEM与LMM可在计算效率和解的收敛性之间取得较优平衡，为含动力边界条件的结构附加质量连续模型求解提供了方法参考。

【研究背景】

工程结构长期受到地震、风荷载等动力作用的威胁。为降低外部激励引起的不利振动响应，调谐质量阻尼器常被安装于高层建筑、塔桅结构或其他柔性结构的关键位置，通常位于结构顶部。要评价TMD的控制效果，首先需要建立主结构与附加质量之间的力学模型，并进一步推导系统运动方程。

传统研究中，主结构通常被抽象为多自由度离散模型（multiple-degree-of-freedom model, MDOF），从而得到矩阵形式的常微分方程（ordinary differential equation, ODE），再与TMD的单自由度方程耦合。此类模型在常规工程分析中具有较好的适用性，但当结构与附加运动体之间存在更复杂的连续体耦合、边界动量或动力边界效应时，离散模型可能难以完整表达系统的动力学特征。

连续体模型能够更直接地描述结构内部位移场和波动传播过程，但其求解难度显著高于离散模型。特别是当连续结构边界连接可运动刚体时，边界条件中会出现加速度项，形成不同于Dirichlet、Neumann或Robin边界条件的动力边界条件。此类问题在数学上涉及带DBC的波动方程，其适定性、误差估计和数值收敛长期受到关注，但在面向土木工程应用的通用求解流程方面仍有进一步梳理空间。

基于此，本文选择最简单的结构TMD连续模型作为切入点：一根一端固定的一维水平杆，其自由端通过无质量、无长度弹簧与可水平运动的刚体质量相连。模型保留了连续结构、附加运动体和动力边界条件之间的核心耦合关系，因而可作为研究更复杂结构TMD连续模型的基础。

【研究亮点】

第一，本文从Hamilton原理出发，建立了一维杆TMD连续系统的完整运动方程，明确给出了杆体波动方程、自由端动力边界条件、固定端本质边界条件以及附加质量的运动方程。

第二，研究指出，由于动力边界条件的存在，传统分离变量法难以直接获得解析解，且MWR在需要严格满足复杂自然边界条件时存在适用性障碍。

第三，研究系统比较了Ritz方法、FEM与LMM三类近似求解思路，阐明了它们在试函数选择、矩阵性质、计算效率和物理解释方面的差异。

第四，数值实验显示，Ritz方法对试函数高度敏感，常用幂函数或正弦函数可能导致广义质量矩阵和刚度矩阵趋于病态；采用固定自由杆本征函数可改善矩阵条件数，但显著增加计算成本。

第五，在本文设定的数值算例中，FEM与LMM均可获得收敛解，其中FEM表现出较高计算效率；当模拟时间较长时，数值误差会随时间累积，需要通过增加自由度数量在精度与计算资源之间进行折中。

【图文导读】

图1为一维杆TMD系统的力学示意图。杆的材料与几何参数包括密度、截面面积、弹性模量和长度。杆自由端通过刚度为K的无质量、无长度弹簧连接质量为M的刚体，刚体受到外部水平动力荷载F(t)。

图1：一维杆TMD连续系统的力学模型与变量定义

图2为杆TMD系统的集总质量模型示意图，图中连续杆被划分为n个等长小段，每一小段的质量被集中到其中心位置，形成m1，m2，…，mn等集总质量；相邻质量之间以等效无质量弹簧相连，弹簧刚度记为k1，k2，…，kn。右端最后一个杆体集总质量与外部TMD质量M之间仍通过刚度为K的弹簧连接，外力F(t)作用于M。

图2：杆TMD系统的集总质量离散模型

图3为不同数值方法计算时间对比图，采用本征函数作为试函数时，Ritz方法的计算时间随n增大迅速上升，n=20时达到588.96s；相比之下，FEM与LMM的计算时间增长较缓，n=20时分别为2.68s和8.14s。该结果说明，Ritz方法的效率高度依赖试函数类型；在本文问题中，FEM具有更优计算效率。

图3：Ritz方法、FEM与LMM在不同n下的计算时间对比

图4为杆端x=L处轴向位移时间历程的收敛性对比图，随着n增大，三种方法得到的杆端位移时间历程逐渐接近n=50的结果，说明在该设置下均存在收敛趋势。但Ritz方法中采用幂函数且n=10的结果在局部位置出现明显偏离，反映出试函数选择和矩阵病态问题可能影响其可靠性。LMM在自由度较小时相较FEM更容易出现曲线错位，提示其在收敛前的精度相对不足。

图4：杆端x=L处轴向位移时间历程的收敛性比较

图5为外部质量块位移时间历程的收敛性对比图，随着n增加，各方法得到的质量块位移曲线逐渐接近n=50的参考结果，表明主结构端部响应和附加质量响应具有一致的收敛趋势。与此同时，随着模拟时间延长，低自由度曲线与参考曲线之间的偏差逐渐累积，说明长时间积分中数值误差积累不可忽略。

图5：外部质量块位移时间历程的收敛性比较

图6为FEM和LMM在不同n下的平均绝对相对差异cn对比图，图中设置阈值cn=0.3%，当相邻自由度n和n+1的解之间差异低于该阈值时，认为该n可作为后续计算的合理选择。作者在20s的较短模拟时间内，沿杆均匀选取21个测试点，并同时纳入质量块位移；为避免接近零的位移作为分母造成数值不稳定，绝对值小于0.1的位移数据被剔除。图6表明，cn在n<20时下降较快，在n=20至n=40之间下降变缓，n>50后变化很小。基于0.3%阈值，FEM与LMM的合理自由度分别取n=50和n=44。

图6：FEM与LMM在不同自由度下的平均绝对相对差异

图7展示了FEM取n=50、LMM取n=44时两个关键位置的数值解，子图(a)为杆中点x=0.5L截面的位移时间历程；子图(b)为外部质量块位移时间历程。该图说明，在图6确定的自由度下，两种方法在短至中等时间尺度内能够给出高度一致的动力响应结果。

图7：FEM n=50与LMM n=44在杆中点和质量块处的数值解对比

图8为杆体整体轴向位移随空间和时间演化的伪彩图，两幅图在视觉上高度相似，均表现出随时间周期性变化的条带结构，说明两种方法对全杆轴向振动传播和反射过程给出了相近描述。

图8：FEM与LMM得到的杆体轴向位移全场演化

图9为以FEM n=50为基准时，LMM n=44数值解的绝对差异分布，在前约100s内，差异接近零；随着时间延长，误差逐渐增大，反映出数值误差的时间累积。LMM n=44相对于FEM n=50的最大差异和最小差异分别达到1.058和−1.021，且极值均出现在自由端x=L。随着位置远离固定端，误差离散程度逐渐增大，但中位数基本保持在0附近，说明差异分布大体对称，未呈现明显单向偏置。

图9：LMM n=44相对于FEM n=50的绝对差异分布与箱线统计

图10是在更严格收敛阈值cn=0.05%下的误差分析图，与图9相比，误差分布模式相似，即误差仍随时间和距固定端距离增加而增强，但极值显著降低，最大值和最小值分别优化至0.348和−0.298。该结果表明，提高自由度能够有效改善长时间积分中的数值一致性，但也会增加计算成本。因此，在实际应用中，应根据目标时间范围、关注位置和可接受误差水平选择合理的n。

图10：提高自由度后LMM相对于FEM的绝对差异改进结果

图11为在更高自由度下FEM和LMM的最终响应对比图，两种方法曲线基本重合，表明在提高自由度后，LMM与FEM对关键响应量的预测具有较高一致性。结合图9和图10可知，数值误差并非完全消除，而是被控制在较小范围内；对于更长时间域或更复杂系统，仍需要在精度和计算资源之间进行进一步权衡。

图11：FEM n=163与 LMM n=153在杆端和质量块处的高自由度解对比

【原文信息】

Numerical analysis of axial vibrations for a continuum model of a one-dimensional rod with a tuned mass damper

Luyu Li, Xian Chen

School of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Liaoning, China

Journal of Dynamic Disasters, 2026, Volume 2, Article 100055

https://doi.org/10.1016/j.jdd.2026.100055

【期刊介绍】

Journal of Dynamic Disasters 是一本国际学术期刊，致力于发表关于动力灾害领域的权威文章。期刊涵盖的研究主题包括地震、风灾、海浪、爆炸、冲击、机械振动以及环境振动等。本期刊重点收录对各类工程结构（如土木工程结构、机械工程结构、航空航天结构、海洋结构）在动力灾害作用下的动力分析、灾变机理、灾害防控、灾害监测、灾害评估以及灾后修复等方面的原创性研究与典型案例研究。

期刊欢迎跨学科研究成果投稿，涵盖领域包括但不限于传感技术、信号处理及动力灾害的智慧管控等。

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