自然界的分形几何学

一、混沌和有序

       在人类历史的长河中，人类不断改变着自然，自然在人类的改变下更符合人类的生活要 求。整体来看，人类改变自然的过程就是将自然由混沌无序变为井然有序的过程，从古至今， 这一点从未改变过。

       在古希腊时期，人们已经对混沌的概念有了浅显的认识，在早期的自然哲学和宇宙论中， 人们认为混沌就是原始的物质和那些没有特定形态的物质。例如液体和气体都没有固定形 态，被认为是宇宙开端的组成基础，如今这个井然有序的世界便是由混沌这种物质构成的。 

       浑沌在英国、德国和法国等欧洲国家中的表述都是 chaos，均源自希腊文化。关于混沌 的最开始的解释可以追溯到古希腊时期。依靠《工作与时日》和《神谱》这两部巨作闻名于 世的被称为“希腊训谕诗之父”的赫西俄德认为“卡俄斯（chaos）”是某种物质的存在， 这种物质在最初呈现出不可分割的状态。赫西俄德关于浑沌的解释对于后来科学家的研究影 响十分大。赫西俄德在《神谱》中的看法是：原始浑沌是对的，万物产生之初是浑沌状态， 最后才慢慢演化成的大地。这些观点都得到了伟大的哲学家亚里士多德的肯定。同时这也与 中国神话传说中的盘古开天辟地的故事十分类似。神话中描述：万物诞生之初，整个宇宙中 被包含在一颗蛋中。然而蛋的内部却是一片混沌，漆黑一团，没有天地之分，也没有所谓的 日月星辰之分，更没有适合人类繁衍生息的地方。 

       无论是古希腊还是古中国，关于混沌的理解，主要是描述由混沌状态演化到非混沌状态。 古代思想家在研究宇宙起源的时候，往往容易接受混沌说，很多传说故事和经典古籍都把混 沌作为宇宙天地开辟之前的一种状态。特别是宇宙最初时候几乎所有的物质都处于某种没有 分化、化作一团的状态，在这一点上同时表现了人类在认识整个宇宙的时候，实际最开始的 认识也是混沌不清的。

       在三国时代吴国人徐整著的《三五历纪》中，有这样的一段记载：“天地浑沌如鸡子,盘 古生在其中,万八千岁,天地开辟,阳清为天,阴浊为地,盘古在其中,一日九变。神于天,圣于 地。天日高一丈,地日厚一丈。盘古日长一丈。如此万八千岁。天数极高。地数极深。盘古 极长。故天去地九万里。”将其翻译成现代语言：很久很久以前，世界混沌，没有天地的概 念，到处都是黑暗。在混沌的世界中，经过一万八千年，孕育出了盘古，由此天地分开，轻 而清的阳气上升为天，重而浊的阴气下沉为地。盘古在天地之间屹立，在一天之中多次变化， 比天地还要神圣。因为盘古每日长高一丈，所以天每天高一丈，地每日厚一丈，持续如此过 去了一万八千年。盘古极高，天极高，地极厚，天离地至少九万里[1]。 

       上面记载的就是流传于中国的神话故事-盘古开天辟地，其本质就是将混沌转变为有序。 古代劳动人民认为世界本是混沌一团，经过改造，变得井然有序并且满足人们需求。在盘古 开天辟地的神话中，除了上述记载，还有盘古利用斧子开辟天地的故事，盘古用斧劈开天地 象征着人们用工具改造自然，使自然符合人们的生活要求。这样的神话故事，这样的象征意义，不仅在中国古典神话中出现过，还出现在西方传说中。

       在基督教的经典《圣经》中这样描述我们现在这个世界的起源：“在起初耶和华创造了 天地。大地还是混沌空虚，深渊上还是一团黑暗，天主的神在水面上运行。耶和华说：‘要 有光，’于是就有了光。耶和华见光好，就将光与黑暗分开…将水分开…这样，天地和天地 间的一切点缀都完成了。”这是流传于西方的传说，与盘古开天辟地类似，本质也是将混沌 转变为有序[2]。 

       自然界是混沌的，自然辨证法要求我们从混沌中找到其中存在的规律，将混沌中极小一 部分事实利用一定的方法描述，变得井然有序，可以被控制。这样的方法可以是公式、图表， 也可以是经验性的描述。利用有序的方法描述混沌的事物通常会引起大变革，引发学界的大 讨论，但最终相应的方法及结果将会映入每个参与讨论的人的心中，成为镶嵌在科学桂冠上 的一颗明珠，第一次数学危机就说明了这一点。 

       古希腊著名的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数（整数）”，也就是说任意一个有理数可以 被定义为两个整数的商。在几何上可以解释为：在一条水平的直线上，标出任意一段线段作 为单位长，如果令线段的左端点和右端点分别表示整数中的零和一，那么就可以用这条水平 的直线上的点的集合来表示所有整数，无疑正整数在零点的右边，负整数在零点的左边。如 果把贝塔作为分母的分数，那么相应的有理数就可以用每一单位间隔分为贝塔等分的点表 示。于是，按照这种想法，每一个有理数事实上都对应着直线上的一个点，这样就能将直线 上所有的点用完。然而，约公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现：等腰直角三角 形的直角边与其斜边不可约。新发现的数由于和之前的所谓的“合理存在的数”即有理数在 学派内部形成了对立，因此被称为无理数。希帕索斯由于这一发现，被学派投入大海，处以 死刑，这引发了第一次数学危机[3]。站在今天的观点看，当时人们还没有无理数的概念，无 理数对于人们就是一个混沌的概念。认清它，了解它，掌握它是人们将混沌事物转变为有序 事物的方法。 

       从数的概念看，混沌和有序是一种明显的对立，这也是数论这门学科能够长久存在的根 源。然而，科学知识中的科学方法的一切定量描述都需要以数为基础，因此可以认为，我们已掌握的井然有序的知识只是自然界中极少的一部分，混沌未知的自然界还需要我们持续不断地探索。

二、分形几何-描述混沌

       无数的科学研究表明：从混沌中提取有效信息并加以解释是科学研究的有效方法。大自 然过于复杂，大量事物混沌无序，我们传统的知识无力去描写云彩、山岭、海岸线或者树木 的形状，海岸线不是简单的直线、树皮并不是光滑的表面、闪电更不沿着直线传播，种种这 些自然界中常见的现象，都对我们进一步认识自然造成困扰，然而，分形几何学是描述这些不规则、混沌现实的有效的方法。

       科学中的有序的，能够使用数学方法求解的问题往往都需要一定的条件，满足这些条件 问题可以被有效求解，而不符合这些条件的问题被称为“病态问题”，通常被认为是畸形的。 科学家们常常去重视这些“绚丽的”“规则的”问题，把“病态的”“畸形的”问题放在一边。 但是，从客观角度我们需要看到所有的绚丽都是相对的，我们不应当因为海岸不像防洪堤那 样规则，便认为它是畸形的；也不应当因为山峰不是精确的金字塔或圆锥体，便认为它是没 有形状的；也不应当因为星星的间距并非均等，便认为它们分布不当。这些并非大自然的不 规则性，而只不过我们认为如此而已；它们对地球上人类的生活和计划的实际应用也并无不便。

       度量海岸线长度是一个很好的例子，直觉上大家会认为海岸线具有一定的长度，但是实 际测量却发现海岸线长度并不像人们想象的那样规则。如下图所示，当使用 200 km 的单位长 度度量英国海岸线时，海岸线总长度为 2300 km；使用 100 km 的单位长度度量海岸线时，海 岸线总长度为 2800 km；使用 50 km 的单位长度度量海岸线时，海岸线总长度为 3500 km。随着 单位长度的减小，海岸线总长度增加。从上述的表述中，我们从混沌的现实中首先得到了描 述性的规律，如果认识更深刻，就需要用数去描述。1967 年，曼德布洛特提出利用分形几何 学来描述这样粗糙和破碎形貌的几何表面，利用分形维数度量这样的边界或者粗糙表面的复杂性[4]。

       事实上，法国数学家曼德布洛特是分形学创始人，他对混沌学研究做出来卓越的贡献。 在连续动力系统中，混沌运动在相空间具有极其复杂的图形，说明了传统几何学的局限，需 要采用新几何工具来解决问题。他在 1973 年的时候正式提出了分形几何的概念，1976 年， 年轻的曼德尔布罗特在科学杂志上对于英国的海岸线有多长的问题给出了自己的答案，答案 是不确定的，答案与测量的尺度有关。曼德尔布罗特的开创性研究为探索种种不规则的复杂 相空间提供了强有力的手段，极大地促进了混沌研究的发展。 

       分形几何学是非线性科学研究的重要分支，其研究对象为数学中或自然界中的不规则和 不光滑的几何体，包括分形点集、分形曲线、分形曲面等[5]。从科学概念上讲，分形描述的 是没有特征长度但具备严格或统计意义上的自相似性的几何图形或结构的总成。传统的理论 认为，自然界中几何图形的维数是整数，对于一个特定的几何体，如果用相同维数的单位去 测量，结果恒定。如果用低维单位进行测量，其维数为无穷大；如果用高维单位进行测量， 其维数结果为零。然而，在分形几何学中，测量的结果变得复杂，其维数是分数。因此，对 同一个分形几何体，使用同一维度、不同大小的单位进行测量时，其结果往往是不确定的。 度量过程中的不确定性反映的是几何体内在结构的无序性，分形几何结构在不同尺度的重复 即为无序性在所有标度上的重复，分形维数就是对这种重复程度的测量。 

       有了分形几何学这个强有力的工具，就可以衡量以往被认为是混沌的图形了。尽管分形 几何学是一门新的学科，但是它对于诸多混沌的图形均有着较好的衡量结果。以往对于混沌 的图形没有好的衡量手段，现在利用分形维数就可以进行很好的衡量。分形几何学就可以利 用分形维数去描写树皮、闪电传播路径、海岸线或者树木的形状，海岸线本质上是一条具有 自相似性的封闭线，其分形维数在一至二之间；树皮本质上是一个具有高度信息且宏观与微 观形貌具有自相似性的曲面，其分形维数在二至三之间；闪电的传播路径本质上是一条不规 则的曲线，其分形维数在一至二之间。 

       尽管分形维数可以很好的度量这些传统意义上被认为是不规则的图形，但是需要意识到， 没有绝对完美的科学方法。科学方法需要不断地进行改进，以适应不同的情况，满足各种条 件的需要。虽然分形维数能够衡量这些图形，但是在更微观的尺度上，分形维数的数值就失 去了宏观上的意义。以海岸线长度测量为例，当使用的单位长度在二十米之内变化时，海岸 线的总长度将不会增加，尽管理论上认为随着单位长度的减小，海岸线总长度随着增加，单 位长度越小，海岸线总长度越长；单位长度无穷小时，海岸线总长度无穷大。实际上，随着 海岸线并不会随着单位长度的无穷减小而无穷增加，这是实际与理论相悖的地方。现有的思 考认为，无论是海岸线，还是其他现实图形，总会有一个特征长度约束住总长度，海岸线的 特征长度被推测是海水冲刷的结果。 

       由此，分形几何学被认为是一个衡量自然界中不规则图形的最佳方法，应用在了科学研究中的方方面面。

三、自然中的分形几何及原理

       要获得不规则图形的分形维数，首要任务是使用合适的计算分形维数的方法，现有的计 算方法主要有粗糙度法、盒维数法、功率谱密度法、自相关函数法、结构函数法等等。使用 不同的计算方法需要验证方法的准确性，验证的过程比计算的过程更为重要，通过验证才能 得出不同方法的对比正确性，验证的过程是使用 Weierstrass-Mandelbrot 函数生成特定分 形维数的理论表面，使用不同方法计算这一理论表面的分形维数，与理论值越接近，说明计算方法越精确，由此便可以确定出应该使用的最佳方法。

       确定了计算分形维数的方法后，最重要的是找到自然界中的分形几何图形。自然界中处 处存在分形图形，上图是典型的树叶图，但是细究来看，它也符合分形几何的特征，放大一 个部分，其形状与整体类似。除了树叶之外，岩石表面、沉积的薄膜表面以及人脑电信号都 具有分形的特征。 岩石表面，通常意义上被认为是粗糙，不平整的，混沌且不可研究的，但是利用分形维 数就可以得到很好的衡量[7]。由于传统的方法计算实际的岩石表面存在一定的误差，研究者 提出了另一种计算方法来计算岩石表面的分形维数。下图是测量得到的岩石表面，可以看出， 其细微结构与我们肉眼观测到的表面有很大差别，呈现出明显的分层现象。分形维数计算这 样的岩石表面有助于为相关的研究者提供一个更稳定的观测方式，更具有说服力。从深层次 来衡量岩石表面，就可以认为岩石表面的分形维数与其所在的自然环境密切相关，风蚀，地 震，流水冲刷都会影响岩石表面的细微机构。利用分形维数衡量岩石表面，为我们观测地理 自然变化打开了另一扇巨大的门。

       利用不同方法沉积得到的薄膜，由于其粗糙度极小，通常为镜面，因此对其表面的研究 只能够使用分形几何知识[8]。以下图的 EPSAD-MgO 薄膜为例，下图是不同厚度下的 EPSADMgO 薄膜表面 AFM 形貌图。从下面的图片中就可以看出，用传统的粗糙度测量方法不能有效 地衡量薄膜表面的形貌，毕竟薄膜的厚度是纳米尺度，肉眼看来就是绝对的镜面，看不出一 点的变化，只有用高精尖的显微镜才能观察到细微结构。即使观察到表面结构，衡量就又是 另一个问题，这种沉积的薄膜表面微观结构上具有很复杂的结构，传统的意义上会认为这样 的表面是混沌的，测量计算是没有意义的。但是，有了分形维数这一有力工具，就可以衡量 这样的表面的复杂程度，开辟了另一个观测微观世界的角度。

       人脑电信号同样存在着信号复杂，混沌且不容易分辨的特点。但是利用分形维数来测量 脑电变化过程中的变化，可以获得很多有效信息，帮助人们更好地提前发现病症[9]。下图是 利用分形维数衡量癫痫脑电信号的结果，从图中可以看出，曲线中凸起处即分形维数变化的 最剧烈的地方就标志着癫痫发作，在这之前曲线上也会有迹象表明癫痫发作。利用分形维数 测量癫痫患者脑电信号可以使医生更早获知患者的情况，并且从脑电分形角度预测癫痫发 作，对于癫痫患者的治疗有着重要的意义。

       自然界中除了以上介绍到的几种分形现象外，还有很多现象都具有分形的特征，这些自 然界中分形现象产生的机理，还需要进一步探索和发现。

四、总结

       分形几何学极大地改变了我们对于自然界的认识，体现在以下几个方面。首先，自然界 中许多不规则的、混沌的现象其背后都有一定的未知的规则，都可以使用分形的方法建立模 型计算分形维数，同时可以利用计算机构造相应的图像，使用这种方法，从某种意义上来说， 我们可以把世界压缩到几个分形规则中，便于保存和传播。其次，许多以前被认为是混沌的 现象，现在从分形理论的角度看并不是随机的、混沌的，比如岩石表面、沉积的薄膜表面、 杂乱无章的脑电信号等等，这些以前被认为是混沌的现象为我们控制这些貌似随机的现象奠 定了理论基础，提供了重要的有效的衡量手段。最后，分形几何学中的分形维数概念，为我 们认识世界中的复杂形态提供了一个全新的重要的尺度。

       混沌科学是现代科学的研究前沿，在混沌科学的研究过程中，众多研究者们发现了许多 符合分形规则的复杂形态，而分形维数是测量这些形态复杂程度的一种重要的度量。也就是 说，我们找到了对混沌做定量分析的工具。使用分形几何学这个重要的工具，混沌将不再是 人类未知的领域，使用分形几何学研究混沌大有作为！        人类自诞生以来，就一直在不断地尝试改变着自然界的状态，将混沌变为已知并加以运 用，这种从人类历史得来的方法论必将持续使用下去。尽管混沌理论很“混沌”，很多现象 难以理解，基本方法总有缺陷，但是我们需要认识到一门新的学科，一门新知识，一个全新 的领域，在研究过程中总会碰到种种复杂的问题，只要持之以恒研究下去，总有收获！

参考文献

〔1〕（唐）欧阳询. 艺文类聚[M]. 中华书局, 1965. 

〔2〕圣经[M]. 国际圣经协会, 1998. 

〔3〕博罗斯基, 博温. 数学辞典[M]. 猫头鹰出版社, 2004. 

〔4〕曼德布罗特著, 陈守吉, 凌夏华译. 大自然的分形几何学[M]. 上海远东出版社, 1998. 

〔5〕陈顒, 陈凌. 分形几何学[M]. 地震出版社, 2005. 

〔6〕鲁雯. 分形开拓图形艺术新思维[D]. 湖南师范大学, 2006. 

〔7〕Ai T , Zhang R , Zhou H W , et al. Box-counting methods to directly estimate the fractal dimension of a rock surface[J]. Applied Surface Science, 2014, 314:610-621. 

〔8〕张向松. 表面粗糙度多尺度分析方法及其在涂层导体制备中的应用[D]. 清华大学, 2018. 

〔9〕王少聪. 可穿戴脑电检测系统与脑电信号分形分析方法研究[D]. 清华大学, 2019