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理想气体的热力学能探究

已有 1438 次阅读 2024-4-18 21:51 |系统分类:教学心得

本文拟结合二元函数的全微分性质，探究理想气体热力学能的部分热力学属性，供参考.

热力学能的全微分性质
设：U=U（T, V）
对于理想气体单纯的pVT变化，热力学能可写成全微分形式，参见如下式（1）所示.
$dU=.left ( {.frac {.partial U} {.partial T}} .right )_{V}dT+.left ( {.frac {.partial U} {.partial V}} .right )_{T}dV$ （1）
依热力学基本方程可得：
$dU=TdS-pdV$ （2）
恒温条件下，式（2）对体积V求导可得：
$.left ( {.frac {.partial U} {.partial V}} .right )_{T}=T.left ( {.frac {.partial S} {.partial V}} .right )_{T}-p$ （3）
将式（3）代入式（1）可得：
$dU=.left ( {.frac {.partial U} {.partial T}} .right )_{V}dT+[T.left ( {.frac {.partial S} {.partial V}} .right )_{T}-p]dV$ （4）
又依热力学基本方程可得：
$dA=-SdT-pdV$ （5）
式（5）结合麦克斯韦方程可得：
$.left ( {.frac {.partial S} {.partial V}} .right )_{T}=.left ( {.frac {.partial p} {.partial T}} .right )_{V}$ （6）
将式（6）代入式（4）可得：
$dU=.left ( {.frac {.partial U} {.partial T}} .right )_{V}dT+[T.left ( {.frac {.partial p} {.partial T}} .right )_{V}-p]dV$ （7）
又依理想气体状态方程可得：
$p=.frac {nRT} {V}$ , $.left ( {.frac {.partial p} {.partial T}} .right )_{V}={nR/V}$
则： $T.left ( {.frac {.partial p} {.partial T}} .right )_{V}-p=.frac {nRT} {V}-p=p-p=0$ （8）
将式（8）代入式（7）可得：
$dU=.left ( {.frac {.partial U} {.partial T}} .right )_{V}dT={C}_{V}dT$ （9）
式（9）显示，对于理想气体单纯的pVT变化，热力学能变仅为温度函数.
对于理想气体单纯的pVT变化的恒温过程，热力学能变恒为0，即：dU≡0.
热力学基本方程变形
依热力学基本方程^[1]可得：
（10）
对于理想气体单纯的pVT变化的恒温过程，式（10）可化简为：
（11）
式（11）显示：对于理想气体单纯的pVT变化的恒温过程，
（12）
结论
⑴对于理想气体单纯的pVT变化的恒温过程， ;
⑵对于理想气体单纯的pVT变化，热力学能变仅为温度的函数.