今天跟大家聊聊应用统计中一个非常基础，却又非常容易让让人感到困惑与头疼的问题，那就是正态性。

正态性的基本概念想必大家都清楚，比如一组数据，如果其频率分布跟下图类似，那么这组数据就较接近正态分布 。在R中，我们也可以非常方便的用shapiro.test()命令来对某一变量是否符合正态分布进行检验。

大多科研工作者也都知道，很多模型如anova, 一般线性模型的前提假设都要求数据要符合正态分布，但问题是这个正态性指的到底是什么？

这个问题非常具有迷惑性，甚至很多概率论和应用统计大学老师也都含糊其辞，云里雾里。那么，今天，咱们就跟大家彻底澄清一下，这个正态性到底所指何物？我们把这个问题分成几步，一步步来分析。

1）        anova和一般线性模型的目的是什么？

首先要明确这个问题，当我们想分析因素x对y有没有影响及其影响强度的时候，就可以采用anova或者线性模型对x和y之间的关系分析。这里还要明确的是，anova和一般线性模型本质上没有区别，实际应用中，二者往往也经常配合使用，线性模型中的r2即可由anova中的相关参数直接算出，这里我们不做讨论。不理解的可以找本书再回顾一番。

2）        正态性指的是对y的要求还是对x的要求？

这个毫无疑问，指的是因变量y, 也就是你要分析的那个指标。对x是否符合正态，以及x是分类变量还是连续变量，都没有任何要求。同一模型中，x可以有多个，x也可以既包括分类变量，又包括连续变量（即ancova）。所以我们必须明确，在你做方差分析，或者一般线性回归前，要明确的是y是否符合正态分布，而不是x。

3）        正态性检验，是否要对所有的y值（也就是你的全部数据）进行正态性检验？

几乎所有的人（当然也包括当年的我）拿到数据之后，首先做的第一件事，就是把数据输入软件，然后对y做一下正态性检验，其结果往往也是数据严重偏离正态。紧跟着下一幕就是你愁眉不展，抓耳挠腮，一通各种数据转换不亦乐乎，最终也没能很好的解决正态性这个完蛋问题。这是几乎99%的人都曾经感到迷惑的问题。那么，我们到底需不需要对所有的y值进行正态性检验呢？

答案是，在几乎100%的情况下，对所有的y进行正态性检验都毫无意义。

为什么这么说呢？我们首先看一个标准的线性回归的公式

y=a+bx+ε,    ε ~N(0, σ²)

这里有假设y符合正态分布了么？完全没有，只是假设残差符合正态分布。那么残差符合正态分布，该如何理解呢？其实这个问题，在贝叶斯语境下会更容易理解。比如上述公式在贝叶斯语境下，就变成：

               y ~ Normal (a+bx, σ²)                

     也就是说，这里假定，y是符合正态分布的。什么？我不是刚说了假定Y符合正态分布毫无意义么，怎么这里又假定他符合正态分布了呢？

列位看官，别着急，擦亮你的眼睛先，咱们慢慢分析。

在y ~ Normal (a+bx, σ²) 这个模型里， 假定y符合正态分布不假，但这里是假定y符合同一个正态分布么？

非也！ 这里是假定y符合一系列均值随x值的变化而变化的一系列正态分布，只不过这一系列正态分布的方差都是σ²而已（想想anova和线性回归的第二个前提假设：方差齐次性，慢慢理解下，看是不是豁然开朗了）。

所以说，正态性的本质，是在x相同或者保持不变的前提下，对应的y应该符合一个正态分布。而当x变化的时候，y理论上应该符合一系列的均值由x决定，而方差又相同的正态分布。从根本上说，正态性指的是，当所有影响y的因素（至少是你认为对y影响比较大的那些因素，也就是通常情况下你在实验中设置的x）都固定的前提下，y的值应该是符合一个正态分布的。

在线性模型中，x对y的影响，也就是公式中的bx。当我们把bx完全去除，或者令x保持在某一固定值之后，y就应该服从一个均值固定，且方差为σ²的正态分布。而去除x的影响后的y值，我们可以用y’表示，y’=y-a-bx (是否减去a无所谓，因为a是一个常数)， 这不就是模型的残差么！所以这也是为何第一个公式中，我们要假定模型的残差要符合正态分布。

通常，我们研究某一个指标y的时候，都需要考虑某些因素x对y的影响，而不是仅仅研究y本身的随机波动。所以说，在几乎所有情况下，我们直接对y进行正态性检验是毫无意义的，因为y的变异中掺杂了x对y的影响。所以正态性检验时，我们首先要把这部分影响排除，也就是只对模型的残差进行正态性检验（这是最常用的方法），或者对x相同时对应的y进行正态性检验就可以了。

好了，讲了这么多可能大家觉得还是有点抽象，下面就以一个最简单的案例说明这一问题。比如，我想了解男女之间体重是否有差别，分别从某一相同年龄段的人群中（人种等其他因素尽可能保持一致）随机调查了1000个男人和1000个女人的体重。然后直接对这2000个体重数据的分布作图，结果如下：

很明显，这是一个双峰曲线，是不符合正态分布的，对这组数据的正态性检验也说明了这一点：

那么怎么办？我就要放弃anova或者线性模型，或者立即开始对体重数据进行各种巧立名目的转换了么？别着急，按我们说的，当x保持一致时（这里也就是性别一致时），y符合正态分布就可以，那么，我们对男、女的体重可以分别作图：

这时我们变发现，男女的体重看起来分别都非常接近正态。所以我们可以拿体重对性别做线性回归：

lm1<-lm(weight~sex, data=data)

然后对这个模型的残差进行正态性检验：结果如下：

可见残差完全符合正态分布，模型本身没有任何问题。原始体重数据不符合正态分布，其实是由于性别造成，这也是我们为什么只对模型残差进行正态性检验的原因。

到这里，数据正态性的意义大家都清楚了吧!

事实上，在实际数据分析中，模型的残差真正符合正态分布的情况也很少见（至少我自己一次也没碰到过，当然这时，也可以先对y做下转化，然后再做回归分析）。当你历经千辛万苦，想尽各种办法去改进模型，但残差还是不符合正态分布怎么办呢？一种大家都认可的方案是，我们可以拿模型的残差和拟合值之间重新做一下回归，如果二者没有关系，那就说明你的模型没有什么大问题。残差的正态性，事实上并不是一个非常严格的限定条件，但拟合值和残差没有关系，这一点是一定要确认的。

最后需要说明的是，对于连续变量y（如体重，身高），通常我们可以认为在x固定的前提下，y理论上是符合正态的。 但有些变量属于天生混蛋型，无论x怎么保持一致，y都不可能服从正态（比如0,1数据，一个家庭有多少个孩子，一个鸟窝里有多少个鸟蛋，比率数据等等）。对于这类数据，一般线性模型是不适合的，要解决这个问题，我们就需要进入传说中的广义线性模型的范畴了，我们下次有机会再做介绍。

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附代码：

##产生随机数据

female<-rnorm(1000,100, 10)

male<-rnorm(1000,125,10)

weight<-(c(female,male))

d1<-as.data.frame(weight)

d1$sex[c(0:1000,0)]<-"female"

d1$sex[c(1001:2000,0)]<-"male"

View(d1)

###体重数据的分布作图

plot(density(d1$weight))

polygon(density(d1$weight),col="slategray1")

###对体重的正态性进行检验

shapiro.test(d1$weight)

###男女各自的体重分布

library(ggplot2)

ggplot(data=d1,aes(x=weight, group=sex,fill=sex,alpha=0.5)) + 

  geom_density(adjust=1.5)

lm1<-lm(weight~sex,data=d1)

summary(lm1)

anova(lm1)

##对模型lm1的残差的残差作图

hist(lm1$residuals)

###对模型lm1的残差正态性进行检验

shapiro.test(lm1$residuals)