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链接：

https://www.researchgate.net/publication/358608147_Existence_Computation_and_ReasoningEXCR_and_Essence_Computation_and_ReasoningESCR_based_Revelation_of_the_Four_Color_Theorem

Existence Computation and Reasoning(EXCR) and Essence Computation and Reasoning(ESCR) based Revelation of the Four Color Theorem

• February 2022

• DOI: 

• 10.13140/RG.2.2.14505.67684

• Projects: 

• From Existence Computation to Semantic Computation through Frequency Defined Fully Typed Resources

• 2021 Data, Information, Knowledge and Wisdom Conference (DIKW 2021)

• Yucong Duan

Existence Computation and Reasoning(EXCR) and Essence Computation and Reasoning(ESCR) based Revelation of the Four Color Theorem

基于存在计算(EXCR)与语义计算(ESCR)的关于四色定理的语义空间(SCR)解释

By Yucong Duan,

DIKW research group, Hainan University

Email: duanyucong@hotmail.com

Abstract: From a cognitive perspective in the semantic space, we proposed the revelation of the semantics of the Four Color Theorem based on our proposed Existence Computation and Reasoning(EXCR) and Essence Computation and Reasoning(ESCR) mechanism following our previous revelation of the semantics of point, line and plane.

四色定理( Four Color Theorem)的语义解释：

四色定理语义等价于寻找一个平面PL上的所有区域Z组合实例对应的本质色彩区分数量NUM(PL, Z, C)。

为了解释平面PL(X, Y)上的区域Z的语义，在存在语义层面可以借助点、线、平面的存在语义进行存在语义分析。

色彩C在存在语义上就是一个区分语义SM，它区分了色彩实例c填充的区域CZ和未填充的区域NZ。

SM(C):=(CZ,NZ)

:={(c,z)}

:={(cz,nz))}

:={(z(c),z(!c)))}

区域Z的所有组合情形Complex(Z)可以用构造的方式枚举解释：

0条本质存在的线定义的区域实例：

当欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中存在0条线时，也即L={}，0个区域需要被区分，也就需要1个色彩c1来填充这个区域。

SMD(Z,L={})

=>NUM(Z)=0

=>NUM(SMD0 (C))=NUM(SMD0 (c1))=1

从存在语义的EXCR角度，NUM(SMD0 ({c1}))也等价于，在欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中在存在0条线时最多对应1个基本区域标记存在语义。

NUM(EXCR(COD(X, Y), {} )):=1

1条本质存在的线定义的区域实例：

当欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中存在1条线，也即L={l1}。

经过坐标语义等价变换，线l1=COD(X,R(ry))将平面PL=COD(X, Y)区分为线两侧Y=R(ry)其两侧的两个平面部分对应的区域。

Z(PL=COD(X, Y),l1=COD(X,R(ry)) )

:={Z1(PL=COD(X, Y<R(ry))), Z2(PL=COD(X, Y>R(ry)))}

:={Z1, Z2}

这2个区域{Z1, Z2}需要用不同颜色标记，对应这个不同语义的SMD1的本质存在就被确认了。SMD1的基本标记需要2个部分对应，我们用色彩{c1,c2}来标记并对应这2个区域。

SMD(Z, L={l1})

=>NUM({Z1, Z2})=2

=>NUM(SMD1 (C))=NUM(SMD1 ({c1,c2}))=2

从存在语义角度分析，2个区域Z1(PL=COD(X, Y<R(ry)))与 Z2(PL=COD(X, Y>R(ry)))的表达的区分完全是在ASS(Y, R(ry))的语义范围上的ASS(Y<R(ry), Y>R(ry))语义上。从本质上ASS(Y<R(ry), Y>R(ry))语义等价于ASS(c1, c2)语义。

SMD(ASS(Y<R(ry), Y>R(ry))):=SMD(ASS(c1, c2))

从存在语义的EXCR角度，NUM(SMD3 ({c1,c2}))也等价于，在欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中在存在1条线{l1}时最多对应2个基本存在语义。

NUM(EXCR(COD(X, Y), {l1} )):=2

2条本质存在的线定义的区域实例：

当欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中在存在1条线l1的基础上增加1条线l2，也即L={l1, l2}。

经过坐标语义等价变换，线l2=COD(X,R(rx))将平面对应的区域Z{Z1, Z2}的中的每个区域区分为2个部分。

Z(PL={Z1, Z2},L{l1=COD(X,R(ry)),l2=COD(R(rx),Y)} )

:={Z11=COD(X<R(rx), Y<R(ry)),Z12=COD(X>R(rx), Y<R(ry)),Z21=COD(X<R(rx), Y>R(ry)),Z22=COD(X>R(rx), Y>R(ry))}

:={Z11, Z12, Z21, Z22}

表面上这4个区域{Z11, Z12, Z21, Z22}需要用不同颜色标记，也就需要4个色彩{c1,c2,c3,c4}来对应这4个区域。

然而从存在语义角度分析，4个区域{Z11, Z12, Z21, Z22}的表达的区分完全是在ASS(R(rx), R(ry))的语义范围上的具体ASS(ASS(X<R(rx), Y<R(ry)),ASS(X>R(rx), Y<R(ry)),ASS(X<R(rx), Y>R(ry)),ASS(X>R(rx), Y>R(ry)) )语义上。

ASS(ASS(X<R(rx), Y<R(ry)),ASS(X>R(rx), Y<R(ry)),ASS(X<R(rx), Y>R(ry)),ASS(X>R(rx), Y>R(ry)) )

:=ASS(R(rx), R(ry))

:=ASS((X<R(rx), X>R(rx)), SMD1)

:=ASS(Z21(X<R(rx), SMD1) ,Z22(X>R(rx), SMD1) )

:=ASS(Z((X<R(rx), X>R(rx)), SMD1)) )

:=ASS(SMD2, SMD1)

本质上这4个区域来源于第二条线l2的加入在原有存在语义空间 SMD1的基础上进行了进一步语义区分SMD2。这个区分有多种存在解释，从存在的独立性角度，第二条线l2的语义区分过程与第一条线l1的区分基础和区分过程没有任何区别。因而和第一条线被引入时一样，确认了一个新的不同语义SMD2的本质存在。SMD2的基本标记需要2个部分对应，但由于已有区域已经被原有色彩标记过了，所以只需在原有色彩{c1,c2}的存在的基础上引入一个新色彩c3来标记并对应这4个区域。

SMD(Z, L={l1, l2})

=>NUM(SMD2, SMD1)=NUM(SMD2 ({c1,c2,c3}))=2+1=3

几何直观上，我们上面讨论的两条相交的线的情形下，被划分的每个区域都有且仅有两条来源于承载了不同区分语义的线作为这个区域存在的本质依据。因而这个区域也有且仅有对这两个边界的内外的的区分语义表达需求。对应这两个边界的外部最多存在两个不同的外部区域。也就是两条交叉线的情形下确定的所有区域最多需要标记其自身以及两个外部区域，也就是最多需要3种独立存在的标记，也即3种色彩。

引入平行线的色彩标记情形：

上面讨论中未描述两条线平行的情形。当第二条线l2与第一条线l1平行时，l2必存在于l1的一侧区域zal1，从而l2可以等价于l1的区分情形。由于l2的非介于l2和l1之间的一侧区域zbl2与l1的另一侧区域zbl1不相邻，从而这两个区域zbl2与zbl1不存在区分需求。因而区域zbl2与zbl1可以使用与zbl1相同的颜色进行填充。

定理(rZPL): 递归的，引入任何新的平行线的情形下不会引入对色彩标记的存在意义上的增加需求，或需要的本质标记色数量不改变。

从存在语义的EXCR角度，NUM(SMD3 ({c1,c2,c3}))也等价于，在欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中在存在2条线{l1, l2}时最多对应3个基本存在语义。

NUM(EXCR(COD(X, Y), {l1, l2} )):=3

3条本质存在的线定义的区域实例：

当欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中在存在2条线{l1,l2}的基础上增加1条线l3，也即L={l1, l2, l3}。

经过坐标语义等价变换，可以将线{l1, l2}对应到线l1=COD(X,R(ry))与线l2=COD(X,R(rx))。

线l3对应于语义空间的ASS(X, Y)的实例ASS(R(rx), R(ry))。ASS(R(rx), R(ry))将已有区域{Z11, Z12, Z21, Z22}从平面几何角度表面上区分为2个有本质区分语义的部分。

Z(PL={Z11, Z12, Z21, Z22},L{l1, l2, l3} )

:=Z(PL, l3)

:={Z(PL,ASS(X, Y)< ASS(R(rx), R(ry))) , Z(PL,ASS(X, Y)> ASS(R(rx), R(ry))) }

:={

Z111=COD(X<R(rx), Y<R(ry), ASS(X,Y) < ASS(R(rx), R(ry))),

Z121=COD(X>R(rx), Y<R(ry)), ASS(X,Y) < ASS(R(rx), R(ry))),

Z211=COD(X<R(rx), Y>R(ry)), ASS(X,Y) < ASS(R(rx), R(ry))),

Z221=COD(X>R(rx), Y>R(ry)), ASS(X,Y) < ASS(R(rx), R(ry))),

Z112=COD(X<R(rx), Y<R(ry), ASS(X,Y) > ASS(R(rx), R(ry))),

Z122=COD(X>R(rx), Y<R(ry)), ASS(X,Y) > ASS(R(rx), R(ry))),

Z212=COD(X<R(rx), Y>R(ry)), ASS(X,Y) > ASS(R(rx), R(ry))),

Z222=COD(X>R(rx), Y>R(ry)), ASS(X,Y) > ASS(R(rx), R(ry))),

}

:={{Z111, Z121, Z211, Z221} ,{Z112, Z122, Z212, Z222}}

表面上这8个区域{Z11, Z12, Z21, Z22}需要用不同颜色标记，也就需要8个色彩来对应这8个区域。

然而从存在语义角度分析，8个区域{Z11, Z12, Z21, Z22}的表达的区分完全是在ASS(R(rx), R(ry), ASS(R(rx), R(ry)))的语义范围上的具体语义上。

这里我们补充，ASS(R(rx), R(ry))是ASS(X, Y)的实例INS(ASS(X, Y), R)。这个实例的获得是由X与Y变量取值分别向实数域R映射得到的。X与Y变量取值分别向实数域R映射也等价于ASS(X, Y)向实数空间R(X, Y)映射。ASS(X, Y)向实数空间R(X, Y)映射的结果也等价于，X与Y在实数操作加R(+)与乘法R(*)组合形成的所有ASS(X, Y)

ASS(R(rx), R(ry))

:=INS(ASS(X, Y), R)

:=R(X, Y)

:=ASS(ASS(X, Y), R(+),R(*))

理论上，只要ASS(R(rx), R(ry))的存在语义不发生改变，ASS(ASS(X, Y), R(+),R(*))可以对应所有的平面连续线条。

这里的连续的语义就是它们的存在一致性不被破坏。

面向本质分析，ASS(ASS(X, Y), R(+),R(*))的最基本形态包括ASS(ASS(X, Y), R(+))或ASS(ASS(X, Y), R(*))。这些表达的存在意义上等价于INS(X+Y=R(r))。

ASS(R(rx), R(ry))

:=ASS(ASS(X, Y), R(+),R(*))

:=ASS(ESCR(ASS(X, Y), R(*)))

:=ASS(ESCR(ASS(X, Y), R(+)))

:=ASS((X, Y), R(+))

:=INS(X+Y=R(r))

ASS(R(rx), R(ry), ASS(R(rx), R(ry)))

:=ASS(ASS(X,Y) < ASS(R(rx), R(ry))), ASS(X,Y) > ASS(R(rx), R(ry))), ASS(SMD2, SMD1) )

:=ASS(SMD3, ASS(SMD2, SMD1))

本质上这8个区域来源于第3条线l3的加入在原有存在语义空间 SMD1的基础上进行了进一步语义区分SMD3。这个区分有多种存在解释，从存在的独立性角度，第3条线l3的语义区分过程与第1条线l1以及第2条线l2的区分基础和区分过程没有任何区别。

因而和{l1, l2}被引入时一样，确认了一个新的不同语义SMD3的本质存在。SMD3的基本标记需要2个部分对应，但由于已有区域已经被原有色彩标记过了，所以只需在原有色彩{c1,c2,c3}的存在的基础上引入一个新色彩c4来标记并对应这8个区域。

SMD(Z, L={l1, l2, l3})

=>NUM(SMD3, SMD2, SMD1)=NUM(SMD3 ({c1,c2,c3,c4}))=3+1=4

从存在语义的EXCR角度，NUM(SMD3 ({c1,c2,c3,c4}))也等价于，在欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中在存在3条线{l1, l2, l3}时最多对应4个基本存在语义。

NUM(EXCR(COD(X, Y), {l1, l2, l3} )):=4

3条本质存在的线定义的封闭区域ZC：

当欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中在存在3条线，也即L={l1, l2, l3}时，

经过坐标语义等价变换，可以将线{l1, l2}对应到线l1=COD(X,R(ry))与线l2=COD(X,R(rx))。这样线{l1, l2}将可以将空间分别以其中一条线的一侧组合围出四个存在语义上等价的区域。线l3对应到l3=ASS( ASS((X, Y), R(+)), {l1, l2})。线l3与线{l1, l2}分别可以产生最多一个交点，分别是点P1(ASS((X, Y), R(+)), {ASS(X,R(ry)))和点P2(ASS((X, Y), R(+)), {ASS(X,R(rx)))。

l3

:=ASS( ASS((X, Y), R(+)), {l1, l2})

:=ASS( ASS((X, Y), R(+)), {COD(X,R(ry)), COD(X,R(rx))})

:=ASS( ASS((X, Y), R(+)), {ASS(X,R(ry)), ASS(X,R(rx))})

:=ASS( {(ASS((X, Y), R(+)), {ASS(X,R(ry))), (ASS((X, Y), R(+)), {ASS(X,R(rx)))})

=>INS(ASS(P1,P2))

如果P1或P2不存在的情形下，l3的存在将等价于其不影响原有的色彩标记。我们考虑P1与P2都存在的情形下，线l3=INS(ASS(P1,P2))将与线{l1, l2}形成一个封闭区域ZC。

封闭区域在色彩标记的存在语义上有重要的意义：

封闭区域ZC的封闭也是存在语义层面的封闭，也就是ZC的任何实例将不会与非形成封闭区域的不跨越封闭区域ZC的线L的实例以外的已存线L形成接触边界LB。

ASS(ZC, L, LB)=>LB={}

定理(rZCO): 用于标记ZC(l1, l2, l3)的色彩C(ZC)可以被用于标记在ZC区域以外(不跨越区域ZC)引入的非平行任何已有线的线L(x)所对应引入的标记需求。由于平面PL=COD(X, Y)中线总是被一条一条引入的，C(ZC)用于替代C(L(x))是递归的。

C(ZC):=C(L(x))

定理(rZCI): 在ZC(l1, l2, l3)区域上(跨越区域ZC)引入的非平行任何已有线的线L(x)可以与ZC的三条边界构成线中的任意两条，例如{l1, l2}，构成一个包含在ZC内的封闭区域NZC=ZC(l1, l2, L(x))。由于线L(x) 与线l3的相对区分语义不存在，ZC(l1, l2, l3) 可以被视作应用不影响存在语义的情形下做标记变换MT(l3=L(x))与MT( L(x)=l3))之后等价于NZC=ZC(l1, l2, L(x))。这种变换后，在ZC(l1, l2, l3)区域上(跨越区域ZC)引入的非平行任何已有线的线L(x)被转换存在语义范畴等价于在ZC区域以外(不跨越区域ZC)引入的非平行任何已有线的线L(x)，进而可以应用定理(rZCI)得到相同的处理。

4条及更多的线定义的区域实例：

当欧式坐标空间平面PL=COD(X, Y)中在存在3条线，也即L={l1, l2, l3}时，引入任何新的线L(x)都将可以被纳入如下两种处理进行递归：

(1) 线L(x)平行于已存在线集合L{l1, l2, l3}中任意一条的情形，可以对应应用定理(rZPL)进行递归，从而否定增加存在意义上的标记色彩需求。

(2) 线L(x)不平行于已存在线集合L{l1, l2, l3}中任意一条的情形，可以对应应用定理定理(rZCO)或定理(rZCI)进行递归，从而否定增加存在意义上的标记色彩需求。

综上，我们展示了基于存在计算(EXCR)与语义计算(ESCR)的关于四色定理的语义空间(SCR)解释。

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