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(一)术语
阳性 (P, positive)
阴性 (N, Negative)
真阳性 (TP, true positive),正确的肯定。又称:命中 (hit)
真阴性 (TN, true negative),正确的否定。又称:正确拒绝 (correct rejection)
伪阳性 (FP, false positive),错误的肯定,又称:假警报 (false alarm),第一型错误
伪阴性 (FN, false negative),错误的否定,又称:未命中 (miss),第二型错误
真阳性率 (TPR, true positive rate),又称:命中率 (hit rate)、敏感度(sensitivity)
TPR = TP / P = TP / (TP+FN)
伪阳性率(FPR, false positive rate),又称:错误命中率,假警报率 (false alarm rate)
FPR = FP / N = FP / (FP + TN)
准确度 (ACC, accuracy),ACC = (TP + TN) / (P + N),即:(真阳性+真阴性) / 总样本数
真阴性率 (TNR),又称:特异度 (SPC, specificity),SPC = TN / N = TN / (FP + TN) = 1 - FPR
阳性预测值 (PPV),PPV = TP / (TP + FP)
阴性预测值 (NPV),NPV = TN / (TN + FN)
假发现率 (FDR),FDR = FP / (FP + TP)
Matthews相关系数 (MCC),即 Phi相关系数
F1评分 F1 = 2TP/(P+P')
(二)理论
在信号检测理论中,接收者操作特征曲线(receiver operating characteristic curve,或者叫ROC曲线)是一种坐标图式的分析工具,用于:
(1) 选择最佳的信号侦测模型、舍弃次佳的模型。
(2) 在同一模型中设定最佳阈值。
ROC分析的是二元分类模型,也就是输出结果只有两种类别的模型,例如:(阳性/阴性)。
(1)ROC空间
ROC空间将伪阳性率(FPR)定义为 X 轴,真阳性率(TPR)定义为 Y 轴。
TPR:在所有实际为阳性的样本中,被正确地判断为阳性之比率。
FPR:在所有实际为阴性的样本中,被错误地判断为阳性之比率。
给定一个二元分类模型和它的阈值,就能从所有样本的(阳性/阴性)真实值和预测值计算出一个 (X=FPR, Y=TPR) 座标点。
从 (0, 0) 到 (1,1) 的对角线将ROC空间划分为左上/右下两个区域,在这条线的以上的点代表了一个好的分类结果(胜过随机分类),而在这条线以下的点代表了差的分类结果(劣于随机分类)。
完美的预测是一个在左上角的点,在ROC空间座标 (0,1)点,X=0 代表着没有伪阳性,Y=1 代表着没有伪阴性(所有的阳性都是真阳性);也就是说,不管分类器输出结果是阳性或阴性,都是100%正确。一个随机的预测会得到位于从 (0, 0) 到 (1, 1) 对角线(也叫无识别率线)上的一个点;最直观的随机预测的例子就是抛硬币。
让我们来看在实际有100个阳性和100个阴性的案例时,四种预测方法(可能是四种分类器,或是同一分类器的四种阈值设定)的结果差异:
将这4种结果画在ROC空间里:
点与随机猜测线的距离,是预测力的指标:离左上角越近的点预测(诊断)准确率越高。离右下角越近的点,预测越不准。
在A、B、C三者当中,最好的结果是A方法。
B方法的结果位于随机猜测线(对角线)上,在例子中我们可以看到B的准确度(ACC,定义见前面表格)是50%。
C虽然预测准确度最差,甚至劣于随机分类,也就是低于0.5(低于对角线)。然而,当将C以 (0.5, 0.5) 为中点作一个镜像后,C'的结果甚至要比A还要好。这个作镜像的方法,简单说,不管C(或任何ROC点低于对角线的情况)预测了什么,就做相反的结论。
(2)ROC曲线
上述ROC空间里的单点,是给定分类模型且给定阈值后得出的。但同一个二元分类模型的阈值可能设定为高或低,每种阈值的设定会得出不同的FPR和TPR。
将同一模型每个阈值 的 (FPR, TPR) 座标都画在ROC空间里,就成为特定模型的ROC曲线。
例如上图,人体的血液蛋白浓度是呈正态分布的连续变数,病人的分布是红色,平均值为A g/dL,健康人的分布是蓝色,平均值是C g/dL。健康检查会测量血液样本中的某种蛋白质浓度,达到某个值(阈值,threshold)以上诊断为有疾病征兆。研究者可以调整阈值的高低(将左上图的B垂直线往左或右移动),便会得出不同的伪阳性率与真阳性率,总之即得出不同的预测准确率。
1. 由于每个不同的分类器(诊断工具、侦测工具)有各自的测量标准和测量值的单位(标示为:“健康人-病人分布图”的横轴),所以不同分类器的“健康人-病人分布图”都长得不一样。
2. 比较不同分类器时,ROC曲线的实际形状,便视两个实际分布的重叠范围而定,没有规律可循。
3. 但在同一个分类器之内,阈值的不同设定对ROC曲线的影响,仍有一些规律可循:
当阈值设定为最高时,亦即所有样本都被预测为阴性,没有样本被预测为阳性,此时在伪阳性率 FPR = FP / ( FP + TN ) 算式中的 FP = 0,所以 FPR = 0%。同时在真阳性率(TPR)算式中, TPR = TP / ( TP + FN ) 算式中的 TP = 0,所以 TPR = 0%
→ 当阈值设定为最高时,必得出ROC座标系左下角的点 (0, 0)。
当阈值设定为最低时,亦即所有样本都被预测为阳性,没有样本被预测为阴性,此时在伪阳性率FPR = FP / ( FP + TN ) 算式中的 TN = 0,所以 FPR = 100%。同时在真阳性率 TPR = TP / ( TP + FN ) 算式中的 FN = 0,所以 TPR=100%
→ 当阈值设定为最低时,必得出ROC座标系右上角的点 (1, 1)。
因为TP、FP、TN、FN都是累积次数,TN和FN随着阈值调低而减少(或持平),TP和FP随着阈值调低而增加(或持平),所以FPR和TPR皆必随着阈值调低而增加(或持平)。
→ 随着阈值调低,ROC点 往右上(或右/或上)移动,或不动;但绝不会往左下(或左/或下)移动。
(3)曲线下面积(AUC)
在比较不同的分类模型时,可以将每个模型的ROC曲线都画出来,比较曲线下面积做为模型优劣的指标。
ROC曲线下方的面积(英语:Area under the Curve of ROC (AUC ROC)),其意义是:
因为是在1x1的方格里求面积,AUC必在0~1之间。
假设阈值以上是阳性,以下是阴性;
若随机抽取一个阳性样本和一个阴性样本,分类器正确判断阳性样本的值高于阴性样本之几率
。简单说:AUC值越大的分类器,正确率越高。
从AUC判断分类器(预测模型)优劣的标准:
AUC = 1,是完美分类器,采用这个预测模型时,存在至少一个阈值能得出完美预测。绝大多数预测的场合,不存在完美分类器。
0.5 < AUC < 1,优于随机猜测。这个分类器(模型)妥善设定阈值的话,能有预测价值。
AUC = 0.5,跟随机猜测一样(例:丢铜板),模型没有预测价值。
AUC < 0.5,比随机猜测还差;但只要总是反预测而行,就优于随机猜测。
AUC的计算有两种方式,都是以逼近法求近似值。
梯形法(英语:trapezoid method):简单地将每个相邻的点以直线连接,计算连线下方的总面积。因为每一线段下方都是一个梯形,所以叫梯形法。
优点:简单,所以常用。
缺点:倾向于低估AUC。
AUC of ROC是机器学习的社群最常使用来比较不同模型优劣的方法。然而近来这个做法开始受到质疑,因为有些机器学习的研究指出,AUC的杂讯太多,并且很常求不出可信又有效的AUC值(此时便不能保证AUC传达本节开头所述之意义),使得AUC在模型比较时产生的问题比解释的问题更多。
(4)分析软件
所有常用于统计分析的软件(例:SPSS、SAS、SYSTAT、S-Plus、ROCKIT、RscorePlus)都有依据不同阈值自动计算真阳性和伪阳性比率、并依此绘制ROC曲线的功能。
离散分类器(英语:discrete,或称“间断分类器”),如决策树,产生的是离散的数值或者一个二元标签。应用到实例中,这样的分类器最后只会在ROC空间产生单一的点。而一些其他的分类器,如朴素贝叶斯分类器,逻辑回归或者人工神经网络,产生的是实例属于某一类的可能性,对于这些方法,一个阈值就决定了ROC空间中点的位置。举例来说,如果可能值低于或者等于0.8这个阈值就将其认为是阳性的类,而其他的值被认为是阴性类。这样就可以通过画每一个阈值的ROC点来生成一个生成一条曲线。
MedCalc是较好的ROC曲线分析软件。
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【参考】
http://www.gpa.etsmtl.ca/cours/sys828/REFS/A1/Fawcett_PRL2006.pdf
https://web.archive.org/web/20100715035231/http://www.cs.bris.ac.uk/~flach/ICML04tutorial/index.html
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