2013 年是贝叶斯定理诞生 250 周年。美国著名统计学家Bradley Efron发表了一篇题目为“一个 250 年的争论：信念、行为和Bootstrap”的纪念文章【1】。Efron写道：“在过去的两个半世纪里，贝叶斯学派和频率学派这两个相互竞争的哲学学派一直在争夺霸权。 20 世纪是频率学派占主导地位，尤其是在应用上，但是 21 世纪见证了贝叶斯学派强劲的复兴势头 …。”

贝叶斯学派与频率学派的主要差别体现在两个方面：

（1）  对概率的解释不同

频率学派认为概率是客体的客观属性，是某事件在大量重复试验中发生的频率 (frequency)。对于频率学派，讨论不能够进行重复试验的概率是没有意义的。概率的“频率”解释是频率学派统计推断的基础。但是严格来说，频率是一个经验概念，它是在重复采样过程中观察到的相对频率【2】。例如置信区间的置信水平其实是相对频率，不是概率。

贝叶斯学派则认为概率是人们对某事件发生的信念度 (degree of belief)，是主观的。因此对于只发生一次的事件也可以使用概率（信念度）。

（2）  统计推断方法不同

频率学派的统计推断方法主要包括显著性检验（例如t-检验）、置信区间等。 因为强调推断的客观性，这些方法通常只依赖于数据，不允许使用主观的先验知识。显著性检验是科学研究中广泛使用，但是又一直有争议的统计推断方法。最近十几年来，显著性检验受到极大的挑战。这是因为越来越多的学者认为显著性检验是造成科学研究成果“可重复性危机”的主要原因之一。因此，许多学者呼吁彻底抛弃统计显著性概念和显著性检验，推动统计学改革。例如《美国统计学家》2019 年特刊“21 世纪的统计推断”的社论宣称 “现在是完全停止使用‘统计显著性’一词的时候了”【3】。统计学改革(范式转变)无疑是统计学界进入21 世纪以来面临的最大挑战之一。

 贝叶斯学派的统计推断依赖于贝叶斯定理，允许使用主观的先验知识。 贝叶斯统计推断的基本思想是将新信息（数据）与先验知识结合产生更新后的知识。原始的贝叶斯定理以条件概率来表达，可以写为：

后验概率～先验概率 × 当前概率

贝叶斯统计推断符合人们的认知过程。人们总是根据新获得的信息来修正或更新先前的知识或信念。最近几十年贝叶斯统计学强劲复兴。然而，对贝叶斯方法的质疑从来没有停止过。主要的质疑是先验的主观性：不同学者对同一个问题的先验可能不同，而推断结果（后验）受先验的影响可能很大。

Bradley Efron在文章结尾中写道：“两党制[两个学派]可能会让统计学应用者感到烦恼，但对统计学研究人员来说却是一件好事——使就业人数增加一倍，并促进了各自学派内部和双方之间的创新。如今，贝叶斯学派和频率学派之间的距离越来越小，尤其是随着客观贝叶斯主义的兴起，我们甚至可能走向联合政府。 贝叶斯[主义]和频率[主义]这两种哲学是正交的而不是对立的。当然，应用统计学家可以自由地使用对手头问题似乎更好的任何方法——我就是这么做的。”

参考文献：

【1】  Efron B 2013 A 250-year argument: belief, behavior, and the Bootstrap Bulletin (new series) of the American Mathematical Society 50 129-146

【2】  Bunge, M. (1981) Four concepts of probability Applied Mathematical, Modelling, 5(5), 306-312.

【3】  Wasserstein, R. L., Schirm, A. L., and Lazar, N. A. (2019). Editorial: Moving to a World Beyond “p < 0.05”, The American Statistician, Vol. 79. https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00031305.2019.1583913