数学家以严谨的逻辑性著称。但是，在著名数学家创建的数学理论中，也会出现违反逻辑思维基本规则——矛盾律的常识性逻辑错误，数学家们通常把这种违反逻辑基本常识的低级错误称之为“数学悖论”。

数学史上曾出现过两个影响科学发展进程的违反矛盾律逻辑错误，但是这两个逻辑错误并不是被数学家发现的，而是被非数学专业的业余人士（民科）所发现。其中一个早已被数学家们解决，另外一个目前只在工程技术领域获得了解决，但是尚未在自然科学和社会科学领域得到解决。

一、矛盾律

矛盾律（law of contradiction）是形式逻辑的四个基本规律之一。

为了确保数学理论的确定性和无矛盾性，矛盾律要求在同一思维过程中，不能用两个完全不同的概念描述同一对象。

假设A和B表示两个不同的概念，即B≠A。若用A和B同时描述同一对象X，就会出现“X=A”和“X=B≠A”的相互矛盾（否定）判断，从而产生违反矛盾律的逻辑错误。

例如，在数学理论中不能出现某个整数既是“奇数”也是“偶数”的相互否定描述，或一个几何图形既“方”又“圆”的相互矛盾描述。

二、牛顿违反矛盾律的逻辑错误

牛顿在创立《微积分》理论时，违反矛盾律，用∆X≠0和∆X=0这两个完全不同的概念描述质点位移X(t)的增量∆X。

图1 牛顿和维纳违反矛盾律的逻辑错误

英国大主教贝克莱（Berkeley）首先发现了牛顿违反矛盾律的逻辑错误（贝克莱悖论）。贝克莱严厉批评牛顿是有意识地“混淆概念”，《微积分》理论是“分明的诡辩”，并强调“逻辑错误不会产生科学”，从而引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”，《微积分》理论险被推翻。

整个18世纪，数学家们的首要任务就是消除《微积分》中牛顿违反矛盾律的逻辑错误，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了牛顿违反矛盾律的逻辑错误（贝克莱悖论），彻底解除了数学史上的第二次危机。

三、维纳违反矛盾律的逻辑错误

牛顿和维纳（Wiener）均研究质点运动现象及规律。他们之间的不同点在于，牛顿研究质点的确定性运动现象及规律，而维纳研究质点的随机性运动现象及规律。

历史总是惊人的相似，维纳在建立描述质点随机运动现象及规律的布朗运动理论时，也步牛顿违反矛盾律的后尘，用“时间函数”和“随机变量”这两个完全不同的概念描述同一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)。

维纳违反矛盾律的逻辑错误首先破坏了《随机过程》理论的逻辑完备性。

当X(t)是时间t的连续函数时，其数学期望和方差分别为：

E[X(t)]=X(t)

D[X(t)]=0

当X(t)是服从N(0,σ²t)的随机变量时，其数学期望和方差分别为：

E[X(t)]=0

D[X(t)]= σ²t

显然，时间函数X(t)和随机变量X(t)的数学期望和方差自相矛盾，在逻辑上不能自洽。

其次，维纳违反矛盾律的逻辑错误破坏了《随机过程》理论的客观真理性。

《随机过程》布朗运动理论对布朗粒子位移和瞬时速度的描述与自然科学、工程技术和社会科学大量的观察实验结果不符，无法正确描述实际的布朗运动现象及规律。

四、《随机信号分析》纠正了维纳的逻辑错误和研究方法

为了解决惯性陀螺仪布朗噪声（Brown Noise）严重影响飞机、舰船、火箭、卫星、宇宙飞船和导弹等航行体导航精度和制导精度的问题，《随机信号分析》首先纠正了维纳违反矛盾律的逻辑错误和研究方法，将布朗粒子在t时刻的位移X(t)抽象为时间函数，然后重建了全新范式的布朗运动理论，可正确描述并预测惯性陀螺仪的布朗噪声，成功地解决了飞机、舰船、火箭、卫星、宇宙飞船和导弹的精确导航和精确制导问题，在航空、航天、航海和军事等领域获得了极为广泛的应用。

五、结论

维纳违反矛盾律的逻辑错误和研究方法虽然在工程技术领域已经得到了纠正，但是在自然科学和社会科学领域，人们尚未发现这一逻辑错误。维纳违反矛盾律的逻辑错误仍然存在于《随机过程》、《统计物理学》和《数理金融学》等教科书中。因此，基于维纳违反矛盾律研究方法建立的《随机过程》理论将面临重大数学危机和重大范式转换，为中国的数学学科进入世界一流水平前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。