每当看到time-delay的文献时，我都深深的为之一懵。尤其是看到Lyapunov泛函中的多重积分项，我都禁不住问一句:为什么是这样子啊？而每篇同类文章都用那么相似，那么心安理得。对于我这个笨人，我也许不该问为什么，只管上去就是一梭子的扫射即可。但我又那么深感愧疚，良心上始终过不去。我不懂，你让我就这么用，像是偷了人家的东西。最近，苦思冥想仿佛有所获，随记下，但仅代表渣渣的肤浅，希望读者大牛多多批评，给出更深刻的原理解释。

一：首先，给出延时系统LK泛函的原理分析：

1. 状态二次型的单积分项：对比XPX的点能量，考虑系统延时状态对系统动态影响，自然扩展Lyapunov函数的映射范围，将[t-h,t]延时区间上的状态二次型考虑进来，形成单积分项，几何上它代表线段能量。其中的原理是构建“区间能量”，将区间能量作为考察对象，如果区间能量衰减，自然点状态能量最终衰减为零。从另外一方面，区间能量是对系统延时区间上状态轨迹的映射，因此明显区别于点能量的局限性，由此被人们称之为保守性的降低。

2. 状态二次型的二重积分项：基于单积分项的几何意义，可以演绎出二重积分项代表“面能量”，也可称为单重积分在上下限区间上的遍历。明显，面能量函数包含对更多条系统轨迹动态的考查，而其衰减既能够说明系统状态稳定，又容许了更多系统动态的发生，进一步降低分析的保守性，反着说就是增加对系统动态分析的维度，使得我们对系统的分析更加全面。

3. 状态二次型的三重积分项以及n重积分项：根据数学演绎法则，我们不难联想到使用更高重积分项，以囊括更多系统动态，目前分析最多到三重积分。为什么没有人设计更高重的积分项？我认为，一则考查更高重积分项将增加系统分析和综合的难度。二则类比函数的泰勒展开原理，高阶项虽然代表高精度，但其使用价值不大；因此高重积分项虽然考察了更多系统动态，但其对系统稳定性的定性分析来说，价值也许不大，所以没必要设计高重积分项。

     其次，积分项包括针对状态二次型和状态导数二次型两种。那么两者的区别和联系是什么呢？ 从物理角度分析，状态二次型代表系统的势能，状态导数二次型代表系统的动能。从系统稳定性角度，因为我们期望的系统稳定性是指系统状态为零，系统状态变化率为零。因此，设计lyapunov泛函时，不仅要考虑系统状态，还要考虑状态变化率。再者，类比PID控制原理，可以简单理解系统状态二次型是对系统当前时刻状态的考查即P型动态；状态导数的二次型类比D型动态；同理，积分项的引入是为了考查I型动态，即延时系统的不稳定性主要是由延时控制产生状态误差累积所造成。

     总结：LK设计的核心原理：一，维数扩展或遍历性（从整数到实数的发展历程；离散点到线段整体；上帝惩罚法则：欲使其灭亡，必先使其膨胀；）；二，动态完备性（状态能量相当于系统动能，状态导数能量相当于系统势能，二者可完备表征系统动态稳定性）。

二：根据上面经验分析，其对我们lyapunov泛函设计有什么启发呢？下面给出泛函设计的两点原则：

1. 紧密结合期望控制性能和系统动态特性。

明确期望性能，确定泛函设计的对象。例如稳定性中我们期望系统状态和状态变化率为零，那么我们在设计Lyapunov 函数时，将用二次型映射或者范数映射状态以及状态导数。

充分考察系统动态行为，确定泛函的形式。还以延时系统为例，延时系统的动态特点是系统历史状态影响系统当前动态，那么我们不仅考虑当前系统状态能量，还要考虑所有延时上界区间内的系统动态（状态能量和状态导数能量），所以引入积分项形式对延时区间动态映射。

2. 逆向思维设计原则

LK 泛函设计是针对系统稳定性，那么我们应该考虑哪些系统动态将导致系统的不稳定，或者系统不稳定动态包括什么？比如系统状态发散，系统变化率不为零，然后针对这两个动态因素设计泛函。此处，可以看做是原则1中的反向拓展。

三： 保守性的理解

1. 分析包含了更多系统动态，状态点动态（XPX），状态轨迹动态（V1），状态变化率轨迹动态（V2），状态轨迹遍历动态（V3），状态变化率轨迹遍历动态（V4）等等。这些映射试图考查系统零阶动态，区间遍历零阶动态，系统一阶动态，区间遍历一阶动态，二维区间遍历一阶动态（三重积分）等等，充分而全面纳入系统各种动态特征于分析之中，相比单单的XPX型, 保守性的降低，可以不明自得。

2. V=V_1+V_2+V_3...。/dote V<0,意味着/dote V_i （i=1,2,3）的和小于零，那么V_i之间将存在一种权衡局面和主导因素，解空间将随着多个V_i的引入而扩大，由此也释放了原来V_i 的解空间，称之为保守性降低。