本文继续介绍Copula熵（Copula Entropy：CE）的多学科实际应用，涉及量子力学、海洋学、电力能源、核工程和航空工程等领域，包括牛津大学的量子Copula熵概念、上海海洋大学的南极磷虾分布预测、国家电网院士团队的智能电网信息物理系统融合、哈尔滨工程大学和武汉第二船舶设计研究院的核反应堆安全技术，以及北京航空航天大学的飞行器操纵品质评价等。

量子力学

熵概念作为不确定性的度量，是统计物理和信息论的基础性概念。在量子力学领域，冯·诺伊曼将熵概念扩展到量子系统，定义了冯·诺伊曼熵的概念，用于度量量子叠加和纠缠导致的量子系统不确定性。然而，量子力学的测量结果具有上下文依赖性，无法在传统的熵度量中得到体现。Constantin和Doering[1]提出了一种新的量子态熵度量，称为语境熵（Contextual Entropy），统一了香农熵和冯·诺伊曼熵两种概念。他们进一步将语境熵与CE进行类比，提出了一种量子CE的理论框架，用于描述量子态之间的统计依赖结构。他们同时给出了从语境熵重构量子态的算法，为量子态估计和量子信息处理提供了理论工具。量子CE框架为量子科技的多个问题提供了新的理论视角，为分析量子系统中复杂的、依赖于测量的统计依赖关系提供了统一的理论语言。

海洋学

南极磷虾是南大洋海域生态系统中的关键物种，对与其相关的其他海洋生物有着重要影响。全球变暖将引发海洋生物分布范围发生变化，预测生物群落分布有助于了解生物对气候变化的响应，对生态系统监测和生物资源管理十分重要。物种分布模型通过在环境变量和物种丰度之间建立联系来预测生物分布，是生物资源研究的重要工具。时间尺度选择对生物分布模型的建立和预测性能具有重要影响，但在以往的研究中较少受到关注。王嘉龙[2]基于南极半岛布兰斯菲尔德海峡周围斯科舍海域的磷虾生物量密度数据，研究了不同时间尺度对生物分布模型性能的影响，选取海表温度、海表混合层深度、溶解氧和叶绿素浓度四个环境因素建立时间尺度分别为日、月、季度、多年的磷虾分布模型。其中，为了确定每个环境变量的最佳时间尺度，他利用CE计算了环境变量与生物数据在不同时间尺度下的相关性。结果表明，不同环境变量与生物变量之间的相关性在不同时间尺度下存在差异：叶绿素浓度和溶解氧的相关性相对稳定；海表混合层深度的相关性随着时间尺度的减小而增大；海表温度的相关性随着时间尺度的减小，呈现先增大后减小的趋势。

电力能源

能源互联网被认为是未来电网发展的基石，对能源网络本质的理解构成了能源互联网建设的理论基础。信息物理系统深度融合要求对信息和物理域协同优化，从而使网络具有韧性、高效和自适应的特点，但现有的技术手段都具有各自不同的局限，而这些局限背后一个根本问题在于缺少一个统一的耦合信息和物理域的无序性度量。虽然熵作为不确定性度量已经被提出，但都是在单个信息或物理域上，迫切需要一个能够同时处理信息不确定性和能量无序性共轭关系的统一熵模型。盛万兴院士[3]基于CE理论提出了一个统一的共轭熵模型，整合了热力学熵和信息熵，从而能够度量整个系统的无序性。在该熵理论中，CE代表了由于信息系统对能源系统调控导致的熵减。基于此共轭熵模型，他们提出了一个负熵驱动的能源系统优化框架，利用基于熵梯度概念设计了能源系统分布式控制律并证明了控制稳定性。他们在一个包含了18个电、气、热能源子系统的能源互联网实验平台上对该熵模型方法进行了验证，结果表明该模型提高了可再生能源的消纳能力，从而为能源互联网的动态优化和机理分析提供了理论工具和方法论基础。

核工程

核反应堆内部署了大量的各种类型传感器,用于获取核设施实时运行数据。传感器数据的准确获取是保障核设施安全运行的前提和基础,核反应堆的安全运行高度依赖各类传感器对温度、压力、中子通量、冷却剂流量等关键参数的实时监测。由于核能设施运行在严苛的高温、高压、高辐射环境下,其中的传感器易发生性能退化和故障。Gao等[4]提出了另一种基于 CE 的传感器信号重构方法,首先 CE 选择与目标传感器强相关的传感器组,再基于传感器组关系,利用 Seq2Seq 和 Mamba 网络分别重构信号,最后利用卡尔曼滤波器将两种重构信号进行融合得到最终结果。基于核电站仿真平台的实验结果表明,再稳定状态和负荷跟踪两种条件下,此融合模型都得到了最好的性能。

航空航天

飞行器操纵品质是指飞行器在执行特定任务时，影响驾驶员操纵难易度和准确度的飞行器稳定性和控制性等特征，衡量了飞行器对驾驶员指令和外部干扰反应时的品质。传统的飞行器操纵品质评估长期以来依赖库珀哈珀量表，但该方法的效果依赖于试飞员的经验和主观感受，具有主观性。随着电动垂直起降（eVTOL）飞行器的发展，飞行器构型日趋复杂，给飞行器操纵品质评估带来了新的挑战。可穿戴生理传感器可以对飞行员的生理信号进行监测，从而能够客观反映其认知状态和任务操纵感受。张曙光和李雨函[5]提出了一种基于transformer模型的飞行器操纵品质评估方法，通过整合飞行员生理信号和飞行任务表现数据来完成飞行器操纵品质评估。其中，CE等方法被用于筛选与品质评分数据相关的多模态生理信号特征，用于构建transformer操纵品质预测模型。他们以eVTOL飞行器为研究对象，基于多个典型任务科目的飞行员在环实验验证了该方法的有效性。

更多关于Copula熵的多学科实际应用，请见我们在ChinarXiv的综述论文。

参考文献

1. Carmen Maria Constantin and Andreas Doering. Contextual entropy and reconstruction of quantum states – an unified framework based on copula entropy. arXiv preprint arXiv:1208.2046, 2021. Unpublished version at August 28, 2021.

2. 王嘉龙. 南极磷虾及其相关种空间分布对未来气候变化的响应研究. 硕士学位论文, 上海海洋大学, 2024.

3. Fengtong Duan and Wanxing Sheng. Conjugate information-energy entropy modeling and entropy gradient control analysis based on cyber-physical integration. IEEE Transactions on Smart Grid, pages 1–1, 2026.

4. Jiarong Gao, Yongkuo Liu, Qiang Zhao, Ji Liu, Longfei Shan, Yang Gu, Zhen Wang, and Guohua Wu. Research on nuclear power plant sensor data reconstruction based on Seq2Seq-Mamba. Annals of Nuclear Energy, 231:112219, 2026.

5. 张曙光 and 李雨函. 一种基于 transformer 模型的飞行器操纵品质评估方法, 2026. CN121998517A.