本文介绍Copula熵在神经科学的实际应用，涉及神经病学、认知神经学、运动神经学和计算神经学等领域。

神经病学

建立神经信号之间的因果关系对理解脑连接至关重要，因果关系连接反映了在脑认知过程中脑网络内部不同区域之间的信息传输方向，刻画了大脑认知过程的脑区之间动态关系特征。相比于传统的格兰杰因果检验，无模型假设的TE更适合此类因果分析任务。Redondo等[1]基于CE理论提出了一种新的TE概念，称为STE（Spectral Transfer Entropy），用于计算频域滤波后的时域信号之间的TE。与直接在原始信号上计算TE相比，在特定频域上计算的STE更具有神经学意义的可解释性。他们将方法应用于注意缺陷多动障碍（ADHD）患者EEG信号的分析，利用STE构建因果关系脑连接网络，发现了ADHD患者与健康人之间与注意力相关的脑连接网络连接的不同。实验结果表明，健康人在与注意力和受控记忆存取相关的θ和α频段表现出明显的因果联系，而ADHD患者的脑网络连接则主要在σ振荡上，可解释为与注意力缺陷有关。

大脑神经系统在执行任务期间，各个脑区的信息处理活动是作为一个整体来协同进行的。相位同步（Phase Synchronization）是指大脑活动期间各个脑区神经信号在时序结构上的关系。传统的相位同步研究关注于成对脑区之间的关系描述，而全局相位同步（Global Phase Synchronization）则关注于多个脑区神经信号之间的同步强度。Li等[2]提出利用CE计算多变量MI来估计GPS并检测脑网络结构。他们首先利用Rōssler模型将该方法与其他同类方法对比，证明了其能够更好地估计网络中的GPS强度。然后，他们将该方法应用于颞叶癫痫症病人的SEEG信号数据的分析，发现癫痫的终止伴随着GPS强度和脑区整合度的增加，与已有的研究结论相符合。

脑卒中（俗称中风）是全球高致死病因之一，准确的诊断有助于有效的治疗和病情管理。核磁共振成像（MRI）是脑卒中诊断的有力工具，但其复杂性给MRI数据分析构成了挑战。脑卒中对神经系统及其功能连接造成局部伤害，但是通过MRI功能连接变化的分析无法揭示病情对大脑动态功能的改变。有效连接（Effective Connectivity：EC）反映了大脑脑区之间动态的因果关系，为分析和诊断脑卒中对大脑动态功能伤害提供了有效路径。Ciezobka等[3]提出了一种结合EC有向图分析和图神经网络分类的脑卒中分类诊断方法，利用储备池计算（Reservoir Computing：RC）、格兰杰因果分析（GC）和TE三种方法生成EC有向图，再利用GNN等方法对EC图进行分类，以进行病情诊断。该方法利用了基于CE的TE估计算法生成EC图。他们在圣路易斯华盛顿大学收集的脑卒中病人和健康人的MRI数据上对上述方法进行了对比，实验结果表明，基于RC、GC和TE方法生成的EC图在小样本异质性的情况下得到的分类性能大致相当。该诊断方法可以进行EC图可视化和解释，有利于将研究发现转化为临床实践。

认知神经学

认知神经学通过分析大脑活动的各种模态的观测数据，理解大脑作为信息处理器官，对外界刺激的表示、处理和通讯的机理。作为一个非线性的统计度量，MI被认为是分析大脑信号间关联的理想统计工具。但由于MI的估计十分困难，使其难以得到广泛的应用。Ince等[5]根据MI和CE之间的等价关系，提出了一种MI估计方法，称为高斯Copula互信息（Gaussian Copula Mutual Information：GCMI）。GCMI方法利用了CE与边缘函数无关的性质，首先将每个变量的边缘函数转化为高斯函数，从而得到联合高斯分布，再根据所得高斯分布相关矩阵与MI的关系来计算MI。该方法简单方便，且与分布无关。但由于从高斯分布数据计算MI是有偏差的，因此此方法还需要进行校正纠偏操作。Ince等将GCMI与其他MI估计方法进行了对比，并将其应用于分析人脸检测任务的EEG数据[4]和听觉语音刺激任务的MEG数据[6]。在人脸检测任务的实验中，GCMI被用来计算图像内容与认知响应之间的关联强度，并成功选出认识响应敏感区域（图像中的眼睛部分）。在听觉刺激实验中，Ince等研究了语音中的节奏特征对大脑听觉的节律同步的影响。通过对语音刺激的EEG响应数据的分析，作者发现了改变音节和词汇之间的停顿会导致听觉delta带同步的降低。在此实验中，GCMI是数据分析的主要工具。

在GCMI算法的基础上，Combrisson等[7]提出了基于信息论的群体层面分析大脑认知网络的方法，将非参数的排列操作与信息度量相结合，用于分析固定效果或随机效果模型，以适应多人间和多次任务间的变化。他们将方法应用于两个已有研究的数据：第一个研究分析人执行认知行为映射任务时的MEG数据中的高Gamma行为（High Gamma Activity），发现了任务相关的大脑网络，涉及多个运动区、体感区和视觉皮层区域等；第二个研究分析奖惩学习任务的前脑岛（anterior Insula）SEEG数据，发现了奖惩任务的响应时延，以及奖和惩响应的显著差别。汪方毅等[8]提出了一种老年人认知水平分类方法，首先采用GCMI构建脑认知网络，再利用GCMI进行特征选择，最后利用SVM从选择的脑网络连接进行认知水平分类。他们将方法应用于98名葡萄牙老人的静息态fMRI数据，发现提出的方法能够捕捉数据中脑区间的非线性关系，并能够最终得到较同类方法更高的分类准确率。

语音理解是人脑的主要认知功能，研究人脑的神经活动对语音信息的编码和解析是认知神经学的重要问题。语音包络（speech envelope）包含了语音信号中的低频时序信息，研究表明其可以解释大部分神经响应的变化过程，语音包络跟踪就是通过脑电图等手段研究语音包络及其神经响应之间关系的问题。由于大脑的非线性特征，常用的线性模型不能很好的表示这种关系。MI作为非线性关系度量工具，被认为能够捕捉语音包络和神经响应之间的非线性关系。De Clercq等[9]利用根据CE理论构建的GCMI工具，基于两组故事讲述语音和相应采集的EEG数据，对比了线性模型和MI分析对大脑非线性成分的刻画能力。实验结果表明MI分析检测到了线性模型以外的显著的非线性成分，证明了GCMI是比线性模型更适合于研究神经包络跟踪问题的工具。作者也实验验证了与传统的MI估计方法相比，基于CE原理的GCMI方法具有鲁棒、无偏和适合多变量分析等诸多优点。

神经元特化（neuron specification）是指其具有执行特定功能的属性，可以通过研究外部环境刺激和神经响应信号之间的关系来鉴别。MI作为一种非线性关联关系度量，是研究此问题理想的工具。Pospelov等[10]利用GCMI方法计算钙荧光信号和环境变量、动物行为之间的相关性强度，对小鼠大脑海马的CA1区记录的钙信号进行了分析，揭示了与动物外部环境相关的特化神经元，如位置神经元，以及与其行为活动相关的特化神经元，如在跑、直立和静止时活动的神经元。研究也发现了一些对离散变量进行响应的神经元，如动物的场地位置（中央，靠墙和角落）和其速度（休息、慢和快）。他在四组实验中一共检测到472个神经元的781种特化。

神经学研究表明，大脑的意识水平与脑活动复杂度紧密相关，大脑活动复杂度的变化会导致意识清醒水平的变化。因此，通过度量大脑复杂度来衡量大脑意识水平是一个重要的研究方向。信息论为大脑复杂度的分析提供了多种度量工具，其中Ω信息度量在评估大脑内部交互水平上具有独特性，可以不仅是度量整体的相关性，而是衡量协同作用或冗余作用的显著性，但其估计算法面临变量组合爆炸的问题。Belloli等[11]提出了一种基于GCMI方法来估计Ω信息的方法，显著提高了其估计算法的计算效率。他们将该估计算法应用于人类清醒和深度麻醉的fMRI数据集，用以分析不同意识水平下的大脑复杂度。实验将数据中的55个脑区活动分为11个不同的脑区网络进行分析，其中每个网络包含5个脑区。实验结果表明，深度麻醉导致了脑区交互的Ω信息的最大值和最小值都有所减小，使不同脑区网络间的交互协同作用减弱，同时也降低了同一脑区网络内的冗余作用。

瞳孔扩张是认知和行为过程的反映，由与脑干瞳孔神经支配系统连接的皮层结构所控制，瞳孔测量为理解认知活动的脑机制提供了一个有力工具。现代记录技术已经可以记录神经元活动的脉冲数据，使得分析认知行为和神经元活动之间的关系成为了领域重要问题，而如何从大量的神经元活动实验数据中分析认知-神经元相关性成为了一个瓶颈问题。Walden[12,13]基于CE理论提出了Copula-GP与高斯过程因子分析（GPFA）相结合的方法，用来研究活体小鼠的视觉皮层神经过程与瞳孔扩张之间的相互关系。他将该方法应用于小鼠对漂移光栅刺激过程中记录的神经元脉冲信号数据，首先利用GPFA对数据进行降维，再利用Copula-GP估计藤Copula，最后估计CE来衡量认知和神经元活动之间的相关性。实验结果表明，Copula-GPFA方法能够有效地从数据中估计CE值，证实了神经元活动轨迹和瞳孔扩张之间的信息交互过程，与已有的研究发现相符合。

视觉诱发电位（Visually Evoked Potentials：VEP）是通过大脑视觉皮层的视觉刺激的电生理响应，研究大脑视觉认知功能的神经学分析技术。利用信息论方法分析大脑活动期间的信息流是一个重要的神经学数据分析方法，可以促进对大脑动态响应特征的理解。基于GC理念的定向信息（Directed Information）和TE是两个主要的信息流度量工具。Kaufmann[14]提出利用这两种工具分析VEP的EEG记录数据，他给出了定向信息和TE基于两种不同因果关系定义得到的入流（inflow）和出流（outflow）的两种分解形式，再基于CE理论给出了高斯Copula假设下的两种信息流分解形式的估计方法。他将该定向信息和TE的信息流估计方法应用于一组健康人视觉刺激实验VEP的EEG数据，成功发现了从枕中枢到额中枢电极之间的信息流。

运动神经学

肌肉协同（Muscle Synergy）是运动的基础，指人完成各种动作时肌肉组合之间时空上的动作协同。人体的运动控制系统是一个具有冗余自由度的系统，一般认为神经系统通过运动基元的组合协同策略来完成一个动作。运动控制研究的一个重要基本问题是鉴别运动控制中简化的基本肌肉协同策略。通过分解运动过程的肌电（Electromyographic：EMG）信号数据理解运动控制潜在的基本协同机理是基本研究手段，但如何处理信号中的非线性是主要的难题之一，基于CE的MI估计是处理此难题的有力工具。Wu等[15,16]将多元变分模态分解与基于CE的MI相结合，构建了肌肉耦合网络模型，基于表面EMG数据分析了健康人伸手运动过程中上肢肌肉间的时空协同，成功刻画了肌肉耦合关系强度。王洪安[17]提出利用基于CE的MI估计进行肌间耦合强度分析，并基于Ninapro 4数据库的sEMG数据集验证了该方法，发现该方法能够有效分析潜在的神经运动控制机制，描述不同特征频段上的肌间耦合关系之间的差异。他还提出了一种基于CE的TE表示的TE估计方法，称为GCTE，利用其构建肌间耦合网络。他将该分析方法应用在健康人和卒中患者的运动任务肌电sEMG信号数据上，构建了不同频段的肌间耦合网络。结果表明，GCTE方法能够描述耦合网络中肌肉节点间的不对称信息流动，揭示肌间非线性耦合关系，对上肢运动功能康复评价具有应用价值。他还提出了基于R藤Copula的MI和CMI估计方法，称为RVCMI和RVCCMI，并基于仿真实验表明了RVCMI和RVCCMI较传统方法的优势，为肌间耦合网络分析提供了新的工具。Zhu等[18]提出了基于CE的表示TE，再利用R藤Copula估计CE进而估计TE。他们将该方法应用于上肢肌肉间耦合网络的研究，基于疲劳/非疲劳状态下上肢肌肉运动的sEMG数据构建了肌肉耦合网络，发现疲劳状态下的肌肉群间耦合关系较非疲劳状态逐渐加深。金国美等[19]提出利用小波分析和CE估计相结合的方法，分析健康人自主运动下的肌肉疲劳状态的sEMG信号数据，发现在肘关节屈曲运动中，肌间耦合强度在Beta与gamma频段最为显著，协同肌肉对耦合强度比拮抗肌肉对耦合强度大；疲劳后的耦合强度相对于疲劳前有所增强。Reilly和Delis[20,21]提出利用基于CE的GCMI来度量EMG信号之间的时空关联关系，再利用矩阵分解的降维方法来发现EMG信号时空关联中的基本的肌肉协同模式。他们采集了人执行点到点动作运动的EMG数据，将方法应用于数据，得到了有生理学意义的肌肉协同时空模式。

计算神经学

计算神经学是利用计算理论和方法来研究和理解神经系统的功能和机理的学科，研究如何描述生物神经元对信号刺激的个体和群体响应等问题。神经可塑性（neural plasticity）是指神经元网络对外界刺激的适应性结构变化，构建可塑性理论模型是计算神经学关注的主要问题之一。Leugering和Pipa[22,23]基于Copula理论提出了一个神经元群体可塑性的理论框架，构建了一种自适应网络模型，可以在未知模型输入变化的情况下保持模型输出的不变性，CE在该框架中用于度量神经元群的统计特性，衡量输入输出之间的信息量。神经元之间的信息传输分析是计算神经学的另一个重要问题。分析计算神经元之间的信息传输关系需要涉及多个神经元之间的MI的分解。部分信息分解就是将MI分解为协同（Synergy）、冗余（Redundancy）和独特信息（Unique Information）三个部分的理论。基于CE理论和方法，Pakman等[24]提出了一种估计独特信息的方法，并应用于分析多个神经元模型的信息处理。Coroian等[25]基于CE理论提出了一种估计连续分布的协同的方法，以提高现有协同估计算法工具的计算效率，并应用于大脑神经活动数据，以分析脑功能连接图谱和脑区活动模式变化过程中的协同涌现现象。

更多关于Copula熵的多学科实际应用，请见我们在ChinaXiv的综述论文。

参考文献

[1] Paolo Victor Redondo, Raphaël Huser, and Hernando Ombao. Measuring information transfer between nodes in a brain network through spectral transfer entropy. The Annals of Applied Statistics, 19(3):2386–2411, 2025.

[2] Zhaohui Li, Yanyu Xing, Xinyan Wang, Yunlu Cai, Xiaoxia Zhou, and Xi Zhang. Estimating global phase synchronization by quantifying multivariate mutual information and detecting network structure. Neural Networks, 183:106984, 2025.

[3] Wojciech Ciezobka, Joan Falcó-Roget, Cemal Koba, and Alessandro Crimi. End-to-End stroke imaging analysis using effective connectivity and interpretable artificial intelligence. IEEE Access, 13:10227–10239, 2025.

[4] Robin A. A. Ince, Katarzyna Jaworska, Joachim Gross, Stefano Panzeri, Nicola J. van Rijsbergen, Guillaume A. Rousselet, and Philippe G. Schyns. The deceptively simple N170 reflects network information processing mechanisms involving visual feature coding and transfer across hemispheres. Cerebral Cortex, 26(11):4123–4135, 2016.

[5] Robin A.A. Ince, Bruno L. Giordano, Christoph Kayser, Guillaume A. Rousselet, Joachim Gross, and Philippe G. Schyns. A statistical framework for neuroimaging data analysis based on mutual information estimated via a gaussian copula. Human Brain Mapping, 38(3):1541–1573, 2017.

[6] Stephanie J. Kayser, Robin A.A. Ince, Joachim Gross, and Christoph Kayser. Irregular speech rate dissociates auditory cortical entrainment, evoked responses, and frontal alpha. The Journal of Neuroscience, 35(44):14691–14701, 2015.

[7] Etienne Combrisson, Michele Allegra, Ruggero Basanisi, Robin A.A. Ince, Bruno Giordano, Julien Bastin, and Andrea Brovelli. Group-level inference of information-based measuresfor the analyses of cognitive brain networks from neurophysiological data. NeuroImage, 258:119347, 2022.

[8] 汪方毅, 唐杰庆, 刘倩, 余成新, 李博, and 丁帆. 基于静息态 fMRI 区分健康老年人认知水平的 MVPA 方法研究. 磁共振成像, 14(6):18–25, 2023.

[9] Pieter De Clercq, Jonas Vanthornhout, Maaike Vandermosten, and Tom Francart. Beyond linear neural envelope tracking: a mutual information approach. Journal of Neural Engineering, 20(2):026007, 2023.

[10] NA Pospelov, VP Sotskov, VV Plusnin, OS Rogozhnikova, KA Toropova, OI Ivashkina, and KV Anokhin. Searching for cognitive specializations of neurons using mutual information framework. Genes & Cells, 18(4):878–881, 2023.

[11] Laouen Belloli, Pedro Mediano, Rodrigo Cofré, Diego Fernandez Slezak, and Rubén Herzog. THOI: An efficient and accessible library for computing higher-order interactions enhanced by batch-processing. arXiv preprint arXiv:2501.03381, 2025.

[12] Maximilian Walden. Application of Bagged Copula-GP: Confirming Neural Dependency on Pupil Dilation. Transactions on Machine Learning Research, 2024.

[13] Maximilian Walden. Bagged Copula-GPFA: A framework for estimating dynamic neuronal dependency relationships. Technical report, University of Edinburgh, 2024.

[14] Dinu Johannes Kaufmann. Semi-parametric Gaussian Copula Models for Machine Learning. PhD thesis, University of Basel, 2017.

[15] 吴亚婷, 佘青山, 高云园, 谭同才, and 范影乐. 多尺度肌间耦合网络分析. 生物医学工程学杂志, 38(4):742–752, 2021.

[16] Yating Wu, Qingshan She, Hongan Wang, Yuliang Ma, Mingxu Sun, and Tao Shen. R-Vine copula mutual information for intermuscular coupling analysis. In Proceedings of the 11th International Conference on Computer Engineering and Networks, pages 526–534, 2022.

[17] 王洪安. 上肢运动的肌间耦合分析方法研究. 硕士学位论文, 杭州电子科技大学, 2021.

[18] Shaojun Zhu, Jinhui Zhao, Yating Wu, and Qingshan She. Intermuscular coupling network analysis of upper limbs based on R-vine copula transfer entropy. Mathematical Biosciences and Engineering, 19(9):9437–9456, 2022.

[19] 金国美, 佘青山, 马玉良, 张建海, and 孙明旭. 基于小波包-Copula 互信息的肌间耦合特性. 传感技术学报, 35(10):1348–1353, 2022.

[20] David O’ Reilly and Ioannis Delis. A network information theoretic framework to characterise muscle synergies in space and time. Journal of Neural Engineering, 19(1):016031, 2022.

[21] David O’Reilly. Dissecting muscle synergies in the task space. PhD thesis, University of Leeds, 2024.

[22] Johannes Leugering and Gordon Pipa. A unifying framework of synaptic and intrinsic plasticity in neural populations. Neural Computation, 30(4):945–986, 2018.

[23] Johannes Leugering. Neural mechanisms of information processing and transmission. PhD thesis, Universität Osnabrück, 2021.

[24] Ari Pakman, Amin Nejatbakhsh, Dar Gilboa, Abdullah Makkeh, Luca Mazzucato, Michael Wibral, and Elad Schneidman. Estimating the unique information of continuous variablesin recurrent networks. Advances in Neural Information Processing Systems, 34:20295–20307, 2021.

[25] Vlad-Bogdan Coroian, Pedro Mediano, and Tolga Birdal. Scaling up synergy estimators. Technical report, Imperial College London, 2024.