1 对数学归纳法’如果‘表述的批评

数学归纳法用来证明与正整数有关的命题组 P(n)全为真， 其中n=1,2,3,....

证明分为两步

(1)  P(1) 成立

(2)  如果 n=k, P(k) 成立， 则  n=k+1,  P(k+1) 也成立， 即

       P(k)  =>  P(k+1) 

由（1）（2）可知， 全组命题成立。 

我相信数学归纳法作为方法本身没有问题，但是表述有严重缺陷。  

第二步， ‘如果n=k，P(k) 成立’, 由于k是任意的正整数， 这就是说假定对于所有自然数成立，k+1也是自然数， 

P(k+1) 当然也成立， 那还证什么？ 

一个命题正确与否由其内容确定， 或对或错，是客观的，不能如果。

在反证法中， 我们假定待证命题的反命题成立， 以推导矛盾，但是现在却是假定要证明的命题成立， 与反证法无关。 

我们要证明三点在一条直线上， 证明过程就不能说假如它们在一条直线上。

2 正整数的划分与截断

一个给定的命题， 其正确与否是确定的。 在命题列

P(n)， n=1,2,3,.... 

中， 正确命题的编号构成集合

K ={k:  P(k)正确）

错误命题的编号构成集合

M={m:  P(m)错误）

这俩个集合没有交集， 形成对正整数集合N的划分。 

K∩M=Φ,    K∪M=N

例1.  1=1，  2=2， 3>3, 4=4, ..., 

K ={1,2,4, 5,...）

M ={3）

例2.  1<3，  2<3， 3<3, 4<3, ..., n<3, ...

K ={1,2 }

M ={3,4,5,6,...}

为了说明数学归纳法， 我们引进自然数的截断， 是一种特殊的划分：

M={m:m≦r}

K={k:k>r}

r称为断点， 断点可以是0， 正整数， 和正无穷。 

例3.      1=1，  2=2， 3=3, ..., n=n, ...

r=0

M=Φ

K={ 1，2，3, ...}, 

例4.      1>3，  2>3， 3>3, ..., n>3, ...

r=3

  M={ 1，2，3}，

 K={4, 5,6, ...}, 

例5.      1=2，  2=3， 3=4, ..., n=n+1, ...

r=+∝

M={ 1，2，3, ...}， 

K=Φ.

在例3，4，5 中, 在命题列P(n)中可以看出， （1）正确命题的下一个还是正确命题。

等价的说法还有， 

（2）错误命题的前一个也是错误的； 

（3）错误命题连续排列在前， 正确命题连续排列在后。

类似于开运动会， 各个班级排成一列入场， 女生必须排在男生前面， 但是有的班全是男生， 

有的班有3个女生， 有的班全是女生。   

在例1和2中， 正确命题的下一个命题可以是错误命题。 这个差异正是由命题列的内容决定的。

数学归纳法第二步的目标， 正是证明命题列P(n)的错误指标表集M和正确指标集K是否形成自然数的一个截

断。 通俗的说， 是检查一个班级是否遵守了学校要求， 女生确实都排在男生前面吗。  

3. 数学归纳法的改进表述和例子

证明分为两步

(1)  P(1) 成立

(2)  对于任一正确命题, P(k)， 其下一命题, P(k+1) 也正确， 即

       P(k)  =>  P(k+1) 

由（1）（2）可知， 全组命题成立。 

 例3'

用数学归纳法或其他方法证明 

 1=1，  2=2， 3=3, ..., n=n, ...

证明：

(1) n=1,  1=1 正确。 

(2) k=k 是任一个正确命题， 两边加1， 

   k+1 = k+1

于是， 正确命题的下一个也正确。 

由（1）和（2）结合， 所有命题为真。 

例4'

用数学归纳法或其他方法研究例4. 

1>3，  2>3， 3>3, ..., n>3, ...

研究：

(1) 逐一检验开始4个命题可知， 

      P(1), P(2), P(3)错误， P(4) 正确   

(2) k>3 是任一个正确命题， 

   k+1 > k, 

所以k+1 > 3， 所以正确命题的下一个也正确

结合（1）（2）， 

P(1), P(2), P(3)错误， P(4) 及以后正确。  

例5’. 请研究下列命题正确与否  

   1=2，  2=3， 3=4, ..., n=n+1, ... 

研究: 

（1）直接验证前几项， 一直没有发现正确命题。 

（2）真实结论完全没有正确命题，  但是也可以说成： 

正确命题后面还是正确命题， 只是正确命题没有出现。

比较自然的说法是： 错误命题的前一个命题也错。   

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