电介质迷思-(11) 唯美的Debye方程

        许久未写电介质迷思了，并非无思，实为思之过甚、不敢随意而写。旧疑问尚未悟透，新疑问接踵而至，故而继续迷思。

因近几年持续关注多铁性材料与钨青铜氧化物铁电相变与低温介电弛豫，同时也在给材料系本科生讲授《电介质物理》，对介电弛豫渐有所悟。与此同时，越发感叹Debye方程对介电弛豫现象描述之清晰、简洁与唯美。

电介质之最基本物理概念乃极化，即介质中正负电荷中心发生偏移的过程。极化状态的建立或改变是一个渐变的过程，需要一定的时间才能从一个平衡状态达到另一平衡状态，这种渐变过程便是介电弛豫。其本质上反映了极化过程中微观粒子之间的能量交换以及相关能量损耗。若引入复介电常数的概念，则其实部反映了电介质在极化过程中储存能量的能力，而其虚部则描述了极化过程中的能量耗散。Debye方程引入驰豫时间的概念，将介电驰豫描述如下：  

           e' =  e_∞+  (e_s- e_∞) / (1+w²t²)                            (1)

          e"  = (e_s- e_∞)wt / (1+w²t²)                                (2)

          tand  =  (e_s- e_∞)wt / (e_s+e_∞w²t²)                       (3)

其中，e_s与e_∞分别为静态与光频介电常数，w为角频率，t为驰豫时间。

利用简单的数学分析知识可知，介电常数e’随频率单调下降，并在w=1/t处急剧下降；而介电常数虚部e”与介电损耗tand分别在w=1/t与w=(e_s/e_∞)^1/2/t处呈极大值。

如果在1-2式中消去wt，便可得到被称为Cole-Cole圆的半圆方程

         [e'-(1/2) (e_s+ e_∞)]²+(e”)²= (1/4) (e_s- e_∞)² .          (4)

Cole-Cole圆在实验研究中非常有用。若介电常数的实部与虚部的实验数据正好构成一个半圆弧，则该材料属于理想德拜弛豫，并只有一种主要极化机制存在。若实验数据构成两个或多个半圆弧，则说明有两种或多种主要极化机制起作用。若实验数据构成一个半圆弧加一“尾巴”(右边)，则说明该材料为高损耗材料，并存在界面极化机制。

另一方面，若将Debye方程改写成5-6式的形式，便可根据有限频率下介电常数实部与虚部的测试结果分别按(e’,e”/w)和(e’,we”)作直线，并根据其斜率与截距方便地得出参数t、e_∞和e_s。

          e’ = (1/t)(e”/w)+ e_∞                                           (5)

          e’ = -t(we”)+ e_s                                                 (6)

对于偏离德拜弛豫的电介质，可适用Cole-Cole兄弟给出的修正Debye方程

         e = e’ - je” =e_∞+(e_s- e_∞) / (1-jwt)^1-a .              (7)

其中，t_a 为平均弛豫时间，a为介于零与1之间的正数。参数a可作为Debye方程适用程度的度量，a值越大越偏离德拜驰豫。

Debye方程属唯象理论，它将极化过程中微观粒子复杂的能量交换行为归结到驰豫时间t这一参数中，乃是其最闪光的思想所在，也是最唯美的点睛之笔。驰豫时间t不仅是成分与温度的函数，也是材料结构与微结构的函数。而材料之非均质微结构对介电弛豫的影响则可归入修正Debye方程的a值中。

最后，必须注意到：当电场频率很高(w→¥)时, Debye方程中有e’ →e_¥ , e"→0, 而事实上,光频下电介质仍有损耗(光吸收)，显然其在Debye驰豫理论中被忽略了。因此，Debye方程也是有局限性的，它只适用于远低于光频的频率范围。

参考文献

1)    殷之文，电介质物理学(第二版)，科学出版社，北京，2003。

2)    L.L. Hench, J.K. West, Principles of Electronic Ceramics, John Wiley & Sons, New York, 1990.