1.  欧拉(Leonhard Euler)是历史上最伟大的数学家之一。欧拉的数学著作有70卷之多，是历史上最高产的数学家。

    当我们读数学和物理时，会在不同的情景下遇到欧拉。例如，复变函数论中的欧拉公式堪称最美丽的数学公式，欧拉-拉格朗日方程是变分法和现代理论物理学的基石，拓扑学中的欧拉示性数对几何产生深远的影响等。

    著名数学家拉普拉斯说：“读读欧拉吧，他是所有人的老师”。而物理学家阿拉戈则形容道：“欧拉计算毫不费力，就像人呼吸，或者鹰在风中保持平衡”。

    这篇短文介绍欧拉的一个证明，我们可以从这里体会欧拉推理的绝妙。这些绝妙的证明是人类智慧的瑰宝。

2.   欧拉思考一个问题：

 (1)

    此时，通过伯努利兄弟的工作，数学家已经懂了调和级数是发散的，即：∑_n=1^∞(1/n)=∞. 可是人们不会算(1)所示的无穷级数和。人们猜想这个求和是收敛的，且收敛值小于2。欧拉解决了这个难题，他的计算奇妙地发现这个自然数平方的倒数和竟与周期性（圆周）运动有关。

    欧拉的证明大致如下：

    构造函数: f(x)=sinx/x. 则有：

        (2)

立即知道：f(0)=1. 现在寻找f(x)的零点。易知，零点由sinx=0决定，即x=±nπ,n=1,2,3,... 注意x=0不是零点，需排除。

    找到函数的零点后，结合f(0)=1，就可将函数写作：

 (3)

    让我们对比(2)和(3)，由x²项系数马上得出：

              (4)

至此，欧拉找到了困扰数学界几十年的问题答案。该无穷级数收敛，收敛值大约等于1.6449...,小于2，且收敛值奇妙地与π有关。

    进一步，容易知道，若将(4)左右同乘(1/2^2),则得：

           (5)

(4)式减去(5)式，则得：

         (6)

3.  现在我们知道，(1)式要算的是黎曼zeta函数(Riemann zeta Function)在z=2处的值。

    具体来说，黎曼zeta函数的级数定义为：

          (7)

    该定义可以解析延拓(Analytic Continuation)至整个复平面，黎曼zeta函数是亚纯函数(Meromorphic Function),在z=1有唯一的一个简单极点(Simple Pole).除了z=-2n (n=1,2,...)这些平凡零点外，黎曼(Riemann)猜测，该函数所有的非平凡零点(Non-trivial Zero)位于复平面上一条平行于虚轴，实部为1/2的直线上，该线称为临界线(Critical Line),这就是黎曼猜想(Riemann Hypothesis),数学上最重要的猜想。