博文
与二傻和全慧兄有关三维伊辛模型的讨论
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科学网大家公认的高人二傻在《您知道自己是谁吗? （增补版）》中就哲学---定义、赋值与属于；物理---质量、能量与时空发表了一番惊世赅俗却又无比正确的奇谈怪论。特别是他死死揪住 “科学中的 “鬼” --- 无穷小和无穷大问题”这条小辫子不放，并进一步指出对A系统全面有效的定义，在B系统中必然是定义不准确的!所以，“由"定义"或"赋值"或"属于"所带来的矛盾是必然的!可怕的是: 人们已经完全忽视了这种必然的矛盾...在黑白之间,晕乎乎地飞呀,飞呀...忘了自己曾经是A, 后来被"定义"或"赋值"或"属于"B...然后以为自己就是B, 继续晕乎乎地飞呀,飞呀..飞在花丛中啊！但内心里，总隐隐约约感觉到A的影子。。。于是,更晕了! ”
二傻这番奇谈怪论深得我心。本人大呆是属于那种见高人一定要就上去请教一番的，这次也不能拉下空。经过与二傻几番来回交流，感到受益匪浅，特将相关讨论的内容摘录如下：
二傻这番奇谈怪论深得我心。本人大呆是属于那种见高人一定要就上去请教一番的，这次也不能拉下空。经过与二傻几番来回交流，感到受益匪浅，特将相关讨论的内容摘录如下：
大呆留言：我在飞，大家都在飞，飞到最后都不知道自己是我了。嘿嘿, 二傻不傻，大呆真呆，...
二傻回复：也许，“温度趋近于无穷”与“温度等于无穷”确实不是一回事？（3D-ISING）
二傻回复：也许，“温度趋近于无穷”与“温度等于无穷”确实不是一回事？（3D-ISING）
大呆留言：二傻的后记高明得很。谢谢二傻的答复"也许，“温度趋近于无穷”与“温度等于无穷”确实不是一回事？（3D-ISING）"。所见略同, 至理相通。
二傻回复：谢谢！在渐进理论体系中，可能T等于无穷是没有良好定义的，只能定义T趋于无穷（代数）；在整体拓扑体系中，可能T等于无穷反而是定义良好的（几何）。所谓3D-ISING之无穷温度处的“相变”，可能不是一般意义上的相变，而是不同理论体系之间的“跳变”？（瞎说有理！哈哈！）
大呆留言：二傻能不能将在渐进理论体系中和在整体拓扑体系中为什么定义不同再详细地阐述一下. 以及各自定义无限大温度的出发点是什么? 不同理论体系之间的“跳变”是指代数与几何间的吗? 这两者不应该有一一对应的关系吗?
二傻回复：答志东兄: 二傻试图以下面两个例子来表达想说的, 您自己看在3D猜想中是否有类似问题?
(1). 以“割圆法”计算PAI为例: 我们可以用很多等腰三角形来逼近一个圆, 当等腰三角形的底边趋近于无穷小时, 这些等腰三角形底边的连线就无限趋近于圆周, 但永远无法达到真正的圆周! WHY? 因为当等腰三角形的个数趋于无穷大时, 这些等腰三角形底边的连线虽然看上去很象一个圆, 但实际上根本不是圆, 而是一种处处不可导的“类圆曲线”….直到等腰三角形的个数是真正的无穷大时, 才成为一个真正的圆---一种处处可导的光滑曲线!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是处处不可导的类圆曲线, 一个是处处光滑可导的圆)。
(2). 以“量子拓扑效应”为例:
您可能知道量子理论中的“基本群效应”, 讲的是多连通位形空间上的波函数的特殊性质(如: 如DIRAC的磁单极、Aharonov-Bohm效应, 全同粒子系统的费米-玻色统计, 分数统计和非阿贝尔统计等, 前些年依此对高温超导理论也做了不少探索, 如文小刚等人). 所谓“基本群”是描述多连通空间的基本拓扑性质的. 比如一个平面, 其基本群是平庸的, 因为平面上所有的环都能连续变换到其它任何一个环; 但是, 如果一个平面上被挖掉一个窟窿, 这个带窟窿的准平面的基本群就不平庸了, 因为绕着窟窿的环永远无法变换到没有绕着窟窿的环, 于是其基本群至少有两类元素! 这就是说: “平面”上的量子力学与“带一个窟窿的准平面”上的量子力学是有本质上的区别的! 好! 现在让我们来设想一下: 如果我们让“准平面”里的那个窟窿越来越小, 无限趋近于无穷小…它能达到真正的平面吗? 否!!! 只要这个窟窿不是真正的“等于无穷小”(就是不存在了!), 这个准平面还一直是准平面, 哪怕那个引起非平庸基本群的窟窿已经趋于无穷小了, 由于其基本群还是同样的非平庸群, 所以和真正的平面一直有着本质的区别!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是拓扑非平庸的准平面, 一种是拓扑平庸的平面)。
=========
希望以上两个比“1/3 vs 0.333~”更具体的例子能够起到“抛砖引玉”的作用! 哈哈!
(1). 以“割圆法”计算PAI为例: 我们可以用很多等腰三角形来逼近一个圆, 当等腰三角形的底边趋近于无穷小时, 这些等腰三角形底边的连线就无限趋近于圆周, 但永远无法达到真正的圆周! WHY? 因为当等腰三角形的个数趋于无穷大时, 这些等腰三角形底边的连线虽然看上去很象一个圆, 但实际上根本不是圆, 而是一种处处不可导的“类圆曲线”….直到等腰三角形的个数是真正的无穷大时, 才成为一个真正的圆---一种处处可导的光滑曲线!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是处处不可导的类圆曲线, 一个是处处光滑可导的圆)。
(2). 以“量子拓扑效应”为例:
您可能知道量子理论中的“基本群效应”, 讲的是多连通位形空间上的波函数的特殊性质(如: 如DIRAC的磁单极、Aharonov-Bohm效应, 全同粒子系统的费米-玻色统计, 分数统计和非阿贝尔统计等, 前些年依此对高温超导理论也做了不少探索, 如文小刚等人). 所谓“基本群”是描述多连通空间的基本拓扑性质的. 比如一个平面, 其基本群是平庸的, 因为平面上所有的环都能连续变换到其它任何一个环; 但是, 如果一个平面上被挖掉一个窟窿, 这个带窟窿的准平面的基本群就不平庸了, 因为绕着窟窿的环永远无法变换到没有绕着窟窿的环, 于是其基本群至少有两类元素! 这就是说: “平面”上的量子力学与“带一个窟窿的准平面”上的量子力学是有本质上的区别的! 好! 现在让我们来设想一下: 如果我们让“准平面”里的那个窟窿越来越小, 无限趋近于无穷小…它能达到真正的平面吗? 否!!! 只要这个窟窿不是真正的“等于无穷小”(就是不存在了!), 这个准平面还一直是准平面, 哪怕那个引起非平庸基本群的窟窿已经趋于无穷小了, 由于其基本群还是同样的非平庸群, 所以和真正的平面一直有着本质的区别!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是拓扑非平庸的准平面, 一种是拓扑平庸的平面)。
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希望以上两个比“1/3 vs 0.333~”更具体的例子能够起到“抛砖引玉”的作用! 哈哈!
二傻留言：借此机会，还想顺便说说“维数”：
空间的维数是最重要的几何拓扑性质，不好随便增加或减少维数的！
您将4维空间的某一维无限趋近于无穷小，是无法让其变成3维空间的...
重要的物理例子是：
3维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是置换群Sn，所以只有Feimi和Bose两种统计；
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，所以将有连续的“Theta-统计”（其中自然包括所有的分数统计）。
志东兄在3D-Ising的黄金解中采用扩维计算技术时，是否注意到这类问题呢？
这类问题是否与温度趋于无穷和等于无穷的本质区别有联系呢？。。。
========
BLAH BLAH BLAH...老鲍解牛，板门弄斧的啦！哈哈！
空间的维数是最重要的几何拓扑性质，不好随便增加或减少维数的！
您将4维空间的某一维无限趋近于无穷小，是无法让其变成3维空间的...
重要的物理例子是：
3维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是置换群Sn，所以只有Feimi和Bose两种统计；
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，所以将有连续的“Theta-统计”（其中自然包括所有的分数统计）。
志东兄在3D-Ising的黄金解中采用扩维计算技术时，是否注意到这类问题呢？
这类问题是否与温度趋于无穷和等于无穷的本质区别有联系呢？。。。
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BLAH BLAH BLAH...老鲍解牛，板门弄斧的啦！哈哈！
大呆留言：趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是拓扑非平庸的准平面, 一种是拓扑平庸的平面)" 非常感谢二傻的指教。 也就是说, 从温度等于无穷到趋于无穷肯定会有一个拓扑学意义上的"相变"(质的突变). 那我还真蒙对了! 哈哈哈, 真是指点迷津, 醍醐灌顶呀. 我增加一维是没有办法的办法, 因为在3维存在非平庸的拓扑纽结, 无法解, 需要通过加一维的办法使它变得平庸才能解。当然, 这个过程能不能严格地进行,严格地相等需要证明. 你先说说从道理上讲不讲得通?再请教一下:4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是什么?
二傻回复：（1）看来“趋于无穷和等于无穷”在拓扑学意义上的"相变"(质的突变)是一定的！
（2）靠“扩维计算手段”，确实可以将一些问题平庸化，但感觉上总有些怪怪的？
---平庸化之后的解反而能解决非平庸问题？
---四色定理也能在三维空间中得到简单的证明？（俺不知）
问题很可能出现在将4维结果投影回3维空间时，您所采用的投影方式具有很大的任意性?
---这种投影的数学定义严格吗？
---这种投影是唯一的吗？为何是唯一的？
---如果不是唯一的，您所采用的具体投影方式是如何选出来的？
---是否黄金解正是自己“选”出来的一种投影方式的自然结果？
（二傻只会讲大道理，请见谅！如果您有具体想法，请一定教教我哦？）
（3）4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群仍然是置换群Sn。
（2）靠“扩维计算手段”，确实可以将一些问题平庸化，但感觉上总有些怪怪的？
---平庸化之后的解反而能解决非平庸问题？
---四色定理也能在三维空间中得到简单的证明？（俺不知）
问题很可能出现在将4维结果投影回3维空间时，您所采用的投影方式具有很大的任意性?
---这种投影的数学定义严格吗？
---这种投影是唯一的吗？为何是唯一的？
---如果不是唯一的，您所采用的具体投影方式是如何选出来的？
---是否黄金解正是自己“选”出来的一种投影方式的自然结果？
（二傻只会讲大道理，请见谅！如果您有具体想法，请一定教教我哦？）
（3）4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群仍然是置换群Sn。
大呆留言：现就你的回复逐条回复：
（1）肯定. 非常欣慰能得到二傻一致的意见.
（2）靠“扩维计算手段”，确实可以将一些问题平庸化，但感觉上总有些怪怪的？
---平庸化之后的解反而能解决非平庸问题？
答: 也许. 但是,在3维伊辛的情况,非平庸可能被保留在拓扑相因子中了. 所以, 问题仍然是非平庸的. 如何理解拓扑相因子的作用成为关键。
（1）肯定. 非常欣慰能得到二傻一致的意见.
（2）靠“扩维计算手段”，确实可以将一些问题平庸化，但感觉上总有些怪怪的？
---平庸化之后的解反而能解决非平庸问题？
答: 也许. 但是,在3维伊辛的情况,非平庸可能被保留在拓扑相因子中了. 所以, 问题仍然是非平庸的. 如何理解拓扑相因子的作用成为关键。
---四色定理也能在三维空间中得到简单的证明？（俺不知）
答: 也许, 求解3维伊辛的过程也许会对四色定理的证明有帮助. 但我对四色定理不熟悉, 不好枉加评论。
问题很可能出现在将4维结果投影回3维空间时，您所采用的投影方式具有很大的任意性? 答: 我所采用的投影方式取决于权重因子(拓扑相因子)的确定, 任意性可能也在于此。
---这种投影的数学定义严格吗？答: 需要严格证明。
---这种投影是唯一的吗？为何是唯一的？答: 我个人认为投影可能不是唯一的,但是正确的投影是唯一的。当然其唯一性也需要严格证明。
---如果不是唯一的，您所采用的具体投影方式是如何选出来的？答: 无可奉告。
---是否黄金解正是自己“选”出来的一种投影方式的自然结果？答: 在解是未知的情况下, 美应该是一种评价标准. 我相信大自然是简单和美丽的, 她一定会选择一种自然简单美丽的生活方式活着。
答: 也许, 求解3维伊辛的过程也许会对四色定理的证明有帮助. 但我对四色定理不熟悉, 不好枉加评论。
问题很可能出现在将4维结果投影回3维空间时，您所采用的投影方式具有很大的任意性? 答: 我所采用的投影方式取决于权重因子(拓扑相因子)的确定, 任意性可能也在于此。
---这种投影的数学定义严格吗？答: 需要严格证明。
---这种投影是唯一的吗？为何是唯一的？答: 我个人认为投影可能不是唯一的,但是正确的投影是唯一的。当然其唯一性也需要严格证明。
---如果不是唯一的，您所采用的具体投影方式是如何选出来的？答: 无可奉告。
---是否黄金解正是自己“选”出来的一种投影方式的自然结果？答: 在解是未知的情况下, 美应该是一种评价标准. 我相信大自然是简单和美丽的, 她一定会选择一种自然简单美丽的生活方式活着。
（3）4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群仍然是置换群Sn。答: 谢谢二傻.
二傻回复：谢谢指教！二傻开始比较明白您的思路了。
大呆留言：我怎么觉得突变不在无限小到零处, 而在有限大到无限小处呢?
二傻回复：窃以为这个疑问有两重意义：
（1）纯数学上的：为了表达方便，我让符号“@”代表无穷小量"Delta X”。
@本身是无穷小（也就是有限大！），不是零！但是，我们做微积分时，@*@等高次无穷小量却必须被当做零来处理。显然：从@到零，和从@*@到零，是不一样的意思！或者说：@ -> @*@ -> 0 可以被看作“有限大 -> 无限小 -> 零”。
（2）在物理应用上，如处理高温超导时，我们愿意将很薄的一层物质当做“2维平面”来处理，但是这在数学上是完全不严格的！无论多薄的纸，永远是3维的，永远不能成为2维。
所以，这种处理，物理上是近似的。于是，也容易产生疑问：这种近似，是发生在“有限大到零”还是发生在“无穷小到零”的过程中？
二傻回复：窃以为这个疑问有两重意义：
（1）纯数学上的：为了表达方便，我让符号“@”代表无穷小量"Delta X”。
@本身是无穷小（也就是有限大！），不是零！但是，我们做微积分时，@*@等高次无穷小量却必须被当做零来处理。显然：从@到零，和从@*@到零，是不一样的意思！或者说：@ -> @*@ -> 0 可以被看作“有限大 -> 无限小 -> 零”。
（2）在物理应用上，如处理高温超导时，我们愿意将很薄的一层物质当做“2维平面”来处理，但是这在数学上是完全不严格的！无论多薄的纸，永远是3维的，永远不能成为2维。
所以，这种处理，物理上是近似的。于是，也容易产生疑问：这种近似，是发生在“有限大到零”还是发生在“无穷小到零”的过程中？
大呆留言：那你是不是在偷换概念? 将低级无限小变成有限小, 将高阶无限小变成零?
二傻回复：也许很多情况就是如此吧？俺的功力到此为止了---HILBERT说：“无穷是个永恒的迷！”
二傻回复：也许很多情况就是如此吧？俺的功力到此为止了---HILBERT说：“无穷是个永恒的迷！”
大呆留言：你说: "但是,所有的动力学体系都是"哈密顿体系"所能描述的吗? 答案当然为否!(所谓HELMHOLTZ条件)
---对于那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念还存在吗?"
能不能详细讲讲HELMHOLTZ条件? 那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念的替代品会怎么样呢? 伊辛模型会不会是一种不能用"哈密顿体系"描述的动力学体系?
二傻回复：哈哈！麻烦来了！让俺试试能否说清楚：
（1）具体例子：一个2维的动力系统，其运动方程为：
X.. + Y. = 0
Y.. + Y = 0
其中X..代表坐标X对时间的2阶导数，Y.代表坐标Y对时间的1阶导数。这个动力系统就不满足HELMHOLTZ条件，不存在哈氏量，也不存在拉氏量，所以没有“能量”的定义，也无法进行量子化（正则量子化需要哈氏量，路径积分量子化需要拉氏量！）。
（2）参考文献：
@ Dehai BAO & Z.Y.Zhu, "Quantization from Motion Equation", Int"l J. Theoretical Physics, 1993.08.
@ S.A.Hojman and L.C.Shepley, J.Math.Phys.32(1991)142
@ H.Helmholtz, J.fur die reine und angewandte Mathematik, Berlin.100(1887)137;
(3)那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念的替代品会怎么样呢?
--问得好！好问题！
--您问我，我问谁？
--也许是非哈密顿体系下的另一种新的守恒量（更广义地说应该是：一种新的对称形式？！）
(4)伊辛模型会不会是一种不能用"哈密顿体系"描述的动力学体系?
--问得好！好问题！
--俺不知！！！
--不过伊辛模型确实存在很多对称性，并没有传统或经典的对应概念。
能不能详细讲讲HELMHOLTZ条件? 那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念的替代品会怎么样呢? 伊辛模型会不会是一种不能用"哈密顿体系"描述的动力学体系?
二傻回复：哈哈！麻烦来了！让俺试试能否说清楚：
（1）具体例子：一个2维的动力系统，其运动方程为：
X.. + Y. = 0
Y.. + Y = 0
其中X..代表坐标X对时间的2阶导数，Y.代表坐标Y对时间的1阶导数。这个动力系统就不满足HELMHOLTZ条件，不存在哈氏量，也不存在拉氏量，所以没有“能量”的定义，也无法进行量子化（正则量子化需要哈氏量，路径积分量子化需要拉氏量！）。
（2）参考文献：
@ Dehai BAO & Z.Y.Zhu, "Quantization from Motion Equation", Int"l J. Theoretical Physics, 1993.08.
@ S.A.Hojman and L.C.Shepley, J.Math.Phys.32(1991)142
@ H.Helmholtz, J.fur die reine und angewandte Mathematik, Berlin.100(1887)137;
(3)那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念的替代品会怎么样呢?
--问得好！好问题！
--您问我，我问谁？
--也许是非哈密顿体系下的另一种新的守恒量（更广义地说应该是：一种新的对称形式？！）
(4)伊辛模型会不会是一种不能用"哈密顿体系"描述的动力学体系?
--问得好！好问题！
--俺不知！！！
--不过伊辛模型确实存在很多对称性，并没有传统或经典的对应概念。
大呆留言：3维和4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是置换群Sn, 是不是意味着加一维没有改变其群的性质?
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，说明2维与3维有本质的不同?
二傻回复：哇塞！真想知道天狼星秘密啊？：-）
（1）3D和4D上的全同粒子系统的位形空间的基本群是一样的，但是其高阶拓扑群不一样！
---基本群是针对“园环”的，高阶群是针对“球面”的。。。
---所以，2D、3D、4D都是本质上很不一样的。
（2）但是，由于物理上的“点粒子”模型，所以只有点粒子的路径有物理意义（路径积分），所以好象只有“基本群”有明确的物理效应？在这个意义上，2D和3D的区别确实在物理上比较大！
（3）2D空间的最重要性质是：“四色定理”
（4）3D空间的最重要性质是： "只存在五种正多面体"
。。。（嘿嘿！）
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，说明2维与3维有本质的不同?
二傻回复：哇塞！真想知道天狼星秘密啊？：-）
（1）3D和4D上的全同粒子系统的位形空间的基本群是一样的，但是其高阶拓扑群不一样！
---基本群是针对“园环”的，高阶群是针对“球面”的。。。
---所以，2D、3D、4D都是本质上很不一样的。
（2）但是，由于物理上的“点粒子”模型，所以只有点粒子的路径有物理意义（路径积分），所以好象只有“基本群”有明确的物理效应？在这个意义上，2D和3D的区别确实在物理上比较大！
（3）2D空间的最重要性质是：“四色定理”
（4）3D空间的最重要性质是： "只存在五种正多面体"
。。。（嘿嘿！）
我的博文贴出后，全慧兄加入讨论，发表了一通高见，也一并收录如下：
全慧留言：在统计物理中，最低温度是0+，最高温度是0-!
大呆回复：那大家怎么从一个定义范围外的状态出发做微扰呢?另外, 从你的意见看, 你也不反对趋近于无限大不等于无限大, 对吧?
大呆回复：那大家怎么从一个定义范围外的状态出发做微扰呢?另外, 从你的意见看, 你也不反对趋近于无限大不等于无限大, 对吧?
全慧留言：在物理上“温度趋近于无穷”与“温度等于无穷”当然不是一回事！
"Michael Learns to Rock"是在太好听，使我不能集中精力。凑个热闹，瞎掺和掺和。如果大错，可是MLR的问题，哈哈!
1，很简单的例子就是在二阶微分方程中，判定无穷远点是否极(奇)点，要做一个变换1/x，然后看x->0的性质。但是点0-和点0的性质可能完全不同！这一点在极限的概念下很容易理解，太多的例子说明f(0) not = f(0-)。例如平面上的有一个点电荷，它由singularity delta(r)描述, 除了r=0外，你得到一个光滑的电荷分布。如何能理解这个荷? 我们需要积分形式的coulomb定律，也就是场的global描述。这个问题说起来简单，可是我看见不止一位教授在这个问题上出错，呵呵。
2，志东在讨论3d-ising模型时碰到的问题的复杂性可能在于，一定要了解配分函数的拓扑性质，但是，只有从模型的动力学本身出发，才能发现一些那个潜在的拓扑或者global性质的端倪。如果到了配分函数这个local的级数上，讨论拓扑或者global性质可能是缘木求鱼。
一个初等解释如下。我们有一个函数f(x),然后你给出它的Fourier级数，这个级数和原函数f(x)以比较，你就可以知道这个级数在什么意义上，在什么点上行为良好(或者说比较乖!)等等。但是，如果只有一个级数，你要去推测这个f(x)，问题就十分复杂。你不能根据这个函数本身的收敛，就去下结论它收敛的值就是那个潜在的f(x)的值. 例如，矩形波的Fourier级数的不同求法，给出的结果可以有gibbs现象，可以没有！
1，很简单的例子就是在二阶微分方程中，判定无穷远点是否极(奇)点，要做一个变换1/x，然后看x->0的性质。但是点0-和点0的性质可能完全不同！这一点在极限的概念下很容易理解，太多的例子说明f(0) not = f(0-)。例如平面上的有一个点电荷，它由singularity delta(r)描述, 除了r=0外，你得到一个光滑的电荷分布。如何能理解这个荷? 我们需要积分形式的coulomb定律，也就是场的global描述。这个问题说起来简单，可是我看见不止一位教授在这个问题上出错，呵呵。
2，志东在讨论3d-ising模型时碰到的问题的复杂性可能在于，一定要了解配分函数的拓扑性质，但是，只有从模型的动力学本身出发，才能发现一些那个潜在的拓扑或者global性质的端倪。如果到了配分函数这个local的级数上，讨论拓扑或者global性质可能是缘木求鱼。
一个初等解释如下。我们有一个函数f(x),然后你给出它的Fourier级数，这个级数和原函数f(x)以比较，你就可以知道这个级数在什么意义上，在什么点上行为良好(或者说比较乖!)等等。但是，如果只有一个级数，你要去推测这个f(x)，问题就十分复杂。你不能根据这个函数本身的收敛，就去下结论它收敛的值就是那个潜在的f(x)的值. 例如，矩形波的Fourier级数的不同求法，给出的结果可以有gibbs现象，可以没有！
大呆回复：全慧可以说是切中要害，一语点醒梦中人！正确理解这个点电荷需要积分形式的coulomb定律，也就是场的global描述。实际上就是要在高一维空间来理解，也就是说增加了一次积分，对吗？你有关“从模型的动力学本身出发”的论述正是我想要表达的意思，可是我又怕别人说“你改变了原来的热力学问题”，所以一直不好明确说出“从模型的动力学本身出发”这一句话。实际上，我一直强调需要引入时间一维以及要从头开始计算时间平均，让统计物理回归本原。关于不能从local的级数上讨论原函数的拓扑或者global性质，这也是我一直强调的，但我一直没有找到相关的文献来明确地讲明这一点，你知道相关文献吗？关于不能从级数的收敛反推收敛的值就是那个潜在的f(x)的值，你的话真是非常到位，我有被醍醐灌顶的感觉。我以前在文献中看到级数展开的学术大家Domb教授有类似的提醒，但一直不知道其所以然，也请推荐一下相关文献。非常感谢你的讨论！！！
讨论仍然在继续中，本文将随时更新中，。。。
https://blog.sciencenet.cn/blog-2344-229598.html
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