这一回，我先来谈谈整体与局部的关系。世界上的所有事物、所有过程都可以分解为若干部分，整体是由它的各个部分构成的。整体与局部标志客观事物的统一性和可分性。涉及到全与分、一与多的辩证关系。没有局部就谈不上整体。局部是整体的一个环节。同样，没有整体就谈不上局部。一个重要的问题是，整体是不是其局部的总和？整体是局部的有机统一、集合。集合中的各个部分不是单纯地叠加或机械地堆积在一起的，而是以一定的结构形式互相联系、相互作用着的，从而使事物的整体具有某种新的属性和规律。事物作为整体所呈现的特有属性和特有规律，与它的各个局部在孤立状态下所具有的属性和规律有质的区别，它不是各个局部属性和规律的相加。在数学上，代数求和甚至是在线段上的积分，我们可以确定整体等于局部之和。但是涉及到拓扑结构、非欧几里得几何，确实存在整体大于局部之和的可能性，或者说，整体具有与局部性质不同的性质。对一些物理量的球面积分可以积出球面的整体性质。我们观察一个人，看到人的躯干、头、胳膊、手、腿、脚。。。但是这些部分不是孤立的，而是有机地形成一个整体，人。在微观尺度，我们是由许许多多的原子或者分子构成的，但是这些原子或者分子需要有机地构成一个有机体，才能被称为人。下围棋，我们需要注意到整体与局部的关系，仅仅考虑到局部的得失而忽视整体的布局可能会导致棋局失败。围棋术语中的“势”和“气”可以说是对整体性的一种描述。对于一场战争，过分注重战术上的胜利（局部一城一池的得失）而忽视整体上战略性，可能会导致战争的失败。对三维伊辛模型，也存在整体与局部的辩证关系。一个个看上去是局域的自旋，由于它们之间的相互作用，以及三维空间的特性导致的拓扑结构，在体系中存在非局域的整体效应。这个效应导致整体大于局部之和。这一点成为我与反对方攻防的关键。

我们证明两个大呆猜想的论文初稿仅仅证明了三个定理（迹不变定理、线性化定理和局域变换定理），2017年11月5日论文投稿到国际学术刊物《应用克利福德代数研究进展》。第一轮审稿有三个审稿人，两个同意小修后发表，一个反对。反对意见主要重复了以前四大天王和Perk教授的反对意见，无非是与高温展开、低温展开等严格证明的结果不吻合。关于这些老生常谈的陈词滥调，我只好在修改稿中又一次进行了简要的答复。这样在修改稿的前言部分就增加了下面的内容。

在一些统计物理学家和张志东之间发生了好几轮评论和反驳意见的学术交流。简要地总结这些评论的主要内容：(1) 与精确的高温展开不吻合，它已经被严格地证明在高于任何正的温度下是收敛的; (2) 与精确的低温展开不吻合，甚至是第一项; (3) 在张志东论文的开始部分，应用Jordan-Wigner变换时公式有误。（本来我在修改稿中列举了上面反对方的基本观点的，但是后来修改稿的审稿人认为前言过于繁琐，我就删去了这些内容。）我们不想在这里重复张志东已经发表的答复意见。我们仅仅简要地描述如下：在张志东的原始论文中出现的 Jordan-Wigner变换公式的错误不是一个大问题，已经在后来的论文以及本论文中得到更正。张志东的猜想可以从更正后的正确公式出发。从正确的Jordan-Wigner变换公式可见，在三维伊辛模型中的确存在拓扑效应。因为忽视了拓扑效应，在二十世纪六七十年代发展的所谓的精确和严格方法均不是精确的和严格的。所谓的精确低温展开显然是发散的，指明了其展开方法不是精确的，不仅仅是它的高次项，甚至是第一项，因为其方法本身是有问题的。李-杨相变定理提供一个在无限大温度发生相变的可能性，它为高温展开提供了一个多值函数的可能性。请注意，bf 和 f 在无限大温度以及附近的收敛性是不同的。

反对方的审稿意见中还强调，在三维伊辛模型中不存在拓扑学问题。在之前与Perk教授的交流中，他一直强调，在伊辛模型中原始的自旋表象中不存在拓扑学问题，因为自旋算符都是局域算符，但是他承认在转移矩阵的G矩阵表象中有拓扑学问题。这使得我很犯迷糊，为什么在自旋表象中没有拓扑学问题，而在G矩阵表象有拓扑学问题？同一个体系为什么有两种截然不同性质？我追问Perk教授这个问题，他支支吾吾地没有正面回答。这一回，这个审稿人明确地表示，由于在三维伊辛模型的自旋表象中的算符都是局域的，三维伊辛模型中不存在拓扑学问题，言之凿凿的。这一下，被我抓住了他们的把柄。这是我与反对方争论的焦点所在。从这一点可以看出，反对方对三维伊辛模型的本质认识不到位。他们受到自旋算符局域性质的迷惑，对转移矩阵中所有自旋算符的全局性贡献的拓扑效应视而不见。由于他们认为三维伊辛模型中不存在拓扑学问题，他们把那些仅仅考虑局域效应的高温展开、低温展开的结果奉若神明，当做三维伊辛模型精确解的评价标准，并且一直用这样的标准攻击我的精确解。那么，三维伊辛模型中到底存在不存在拓扑学问题？事实胜于雄辩，下面是我在论文修改稿中列举的事实：

在Newell和Montroll的经典综述论文中已经指出并且由Istrail严格证明，三维伊辛模型中存在拓扑效应。正如在Newell和Montroll的论文指出的那样，对二维伊辛模型计算封闭图形的组合论方法无法推广到三维伊辛模型 (见他们的论文第 366页)。对三维伊辛模型，我们需要计及带有纽结的多边形(见他们的论文第367页)。特殊的拓扑性质是，在三维一个多边形无法将空间划分成 “里面和外面” (见他们的论文第367页)。的确，三维空间是固有的非平面，任何一个非平面图形导致计算棘手的障碍。Istrail揭示，三维伊辛模型的NP-完全问题的关键因素是非平面性。每个非平面的晶格，正如Istrail指出的那样，包含一个他所谓的“basic Kuratowskian”结构单元。对三维伊辛模型的配分函数的观察，大呆猜想，三维伊辛模型的非平庸拓扑结构可以被在一个高维度的空间化简成一个在本征矢量上有权重因子（即拓扑/几何相因子）的自由统计模型。

在我的猜想发表后，国际统计物理学界的著名科学家（包括四大天王和Perk教授夫妇）表示强烈的反对。他们认为我的工作与学术界普遍认可的评价标准（如高温展开、低温展开）不一致。他们振振有词，似乎很有道理的样子。我反驳他们的意见，几乎是各说各的理，谁也说服不了谁。现在清楚了，他们坚持的标准是错误的。这好比，他们坚持1+1=2，但是真理是1+2=3。他们坚持说，1+1=2是正确的。谁也不可能反驳说1+1=2这个等式是错误的。但是真理是1+2=3，不是1+1=2。他们奉若神明的标准（高温展开和低温展开）少算了一项贡献：拓扑学的贡献。这是他们错误的根源！我从一开始做这个问题，自己就十分清楚存在拓扑学问题。后来在看文献时，我也能够从文献中抓住问题的关键，在Newell和Montroll的经典综述论文Rev. Mod. Phys. 25, 353–389 (1953)中，我能够从几十页的论文的一大堆信息中发现最重要的信息，就是那么几句关于拓扑学的描述，对求解三维伊辛模型是至关重要的。在我的猜想的论文的前言部分曾经引用过相关内容，因为我认为这对求解三维伊辛模型的精确解是关键。这一次我干脆在答复意见和论文修改稿中明确地标明了相关论述对应的页码，使审稿人和读者很容易地找到相关论述的出处，一目了然，可以很容易地对问题做出正确的判断。可以说，我点中了反对方的死穴。

在我对审稿人的答复意见中，我还写了如下一段话。这一段话没有出现在发表的论文中，后来我将论文贴到arXiv上，将这一段话补充上了。

尽管伊辛模型在原始的自旋变量语言中好像是完全局域化定义的，所有可能的状态以所有自旋都纠缠在一起的形式贡献到配分函数和自由能。这可以从用费米G算符定义的克利福德代数的描述中出现的非局域性清楚地看出。我们的工作就是处理在克利福德代数的空间中存在的非局域效应。可以理解，非局域性不仅仅存在在G算符表示的空间，也存在在所有的伊辛自旋的状态空间。尽管在自旋的状态空间不容易看出这个非局域的效应，在两个不同的空间的表示是通过一系列的等式相联系的（注：等式的右边有拓扑学效应，等式的左边当然也有拓扑学效应）。所以，非局域性的确存在于原始的伊辛自旋变量语言表述中。现在很清楚了，仅仅具有最紧邻相互作用的三维伊辛模型， 在原始的自旋语言似乎是局域的，实际上不可以忽视系统中存在的非平庸的拓扑效应。情况与Aharonov-Bohm (A-B)效应非常相似，在磁场的语言中，没有磁场，但是在势的语言中，存在A-B效应。当然，我们不能说，系统中不存在A-B效应（甚至是在磁场的语言中）。在势的语言中显示的A-B效应是拓扑相因子的具有物理意义的可观察量。类似地，在三维伊辛模型的G算符语言中发现的非局域拓扑效应也是具有物理意义的可观察量。我们甚至在自旋变量语言中也不能忽视其存在。从另外一个角度说，原始的自旋变量语言不是一个研究三维伊辛模型的好的表示，正如磁场语言不是一个研究A-B效应的好的表示。

应该说，上面的论述给了反对方的反对意见致命一击。后来，修改稿被编辑当成一个新的稿件处理，送审。没有送到反对方那里复审（因为反对方的评审意见中明显地流露出了对我的工作的偏见，甚至有一些非理性的非学术性质的攻击，表明他或者她无法做出理性、公正和客观的评价。我在答复意见中对非理性的意见也做了有理有据有节的回击，可能帮助编辑做出这样的决定。）编辑送了两个新的审稿人。两个新的审稿人认为定理证明得很完善，一致同意发表。两轮审稿，一共五个审稿人，四比一。想当年，2005年猜想论文的初稿在PRL和PRE送审，也是五个审稿人，零比五。形势发生了根本性的变化，越来越多的同行支持和理解我的工作。

通过与反对方的交锋，我产生了一些感悟。作为一个科学家，有几个需要注意的问题：一 ）随着时间的演化学术界可能会偏离正确的道路，在错误思想指导的方向上一路狂奔。刚开始做某个工作时，领域里的科学家还是知道使用的理论、方法或者技术的局限性的。但是，后来者往往注重学习如何应用这些理论、方法或者技术开展研究。可能会被这种理论、方法或者技术的成就冲昏头脑，慢慢地忘记了其局限性。在三维伊辛模型研究领域，首先开展级数展开（包括高温展开、低温展开）研究三维伊辛模型的物理性质的大牛Domb教授的头脑是清醒的。他在一篇综述性论文中提醒大家：在使用级数展开时，需要小心谨慎，避免出现错误的结论。无论何时都要用可预期的解的物理洞察来指导级数展开。如果有可能，一定要用精确解来检查级数展开方法，评价其一致性。这种真知灼见，被后代的科学家抛到九霄云外。大家被高温展开、低温展开表面上的成功所鼓舞，将高温展开、低温展开的结果当成了一个精确解的评价标准。本末倒置。另外，关于三维伊辛模型中存在拓扑效应， Newell和Montro是非常清楚的，在他们的论文中是明确说明这一点的。我相信昂萨格和考夫嫚也是清楚的。但是，几十年过后，统计物理的顶级科学家们居然认为在三维伊辛模型中不存在拓扑学贡献。这样的偏离正确路线的学术“传承”有可能是许多领域的普遍性现象，需要引起科学共同体的警觉。二）不同的方法获得结果相互支持，大家可能会忽视这些方法都有可能出现同样的错误。通常为了确认一个工作的正确性。人们可以用几种不同方法从不同的角度开展研究。如果几种不同方法获得的结果是一致的，则大家通常相信结果是正确的。但是，如果这些方法都忽视了同一个物理量的贡献，它们有可能都是错误的。在三维伊辛模型的研究中，高温展开、低温展开、重整化群、蒙特卡洛等方法获得结果是一致的。当时我的猜想论文初稿在PRL和PRE的一个审稿人，就提出，为什么大家都错了，而你是对的？现在清楚了，这些方法都没有考虑非平庸的拓扑学结构对物理性质的贡献，所以都错了。三）精密度与精确度不是一回事情。现在大家通常追求计算结果的精密度，认为高的精密度就代表结果的高的精确度，忽视了可能存在的系统误差（如上面所说的拓扑学贡献）。举个例子，一把有1环系统误差的枪，可以枪枪打在9环，永远打不到10环靶心（见我的博文《精密度、准确度与精确度》）。

当然，反对方的审稿意见并不是一无是处，指出在我的证明过程中存在算符不对易性问题。认为这个问题很严重，导致证明结果是错误的。我一直也知道算符不对易性是个问题，但是不是很严重，因为四面体方程可以保证体系的对易性，也可以用约当代数来解决算符的对易性问题。实际上，我对如何用约当代数来解决算符的对易性问题已经有所思考，另外写了一篇论文待发表。既然反对方认为这个问题很严重，我就将那篇论文的主要内容直接复制过来，增加了一个定理，即对易性定理，作为了论文中的第四定理。主要是利用了约当代数和时间平均。并且将第二、第三定理的证明过程中出现的乘法符号都变成约当代数的乘法符号。从而补上了原来论文中的这个漏洞。在这里，我衷心地感谢反对方审稿人的建设性意见，使我的论文有一个很大的改进和提高。从这个意义上讲，有一个强大的反对方的存在是一件很幸福的事情。反对方如同一面镜子的作用，可以使人看到自己的不足之处而加以改进。

修改稿送审后，两个审稿人均认为定理被严格证明。其中一个审稿人认为，这个工作即使无法达到普遍性的认可，也不影响其发表。科学研究的探索过程很重要，特别是对探索者而言，享受到探索的乐趣是大自然的一个奖赏。当然，探索获得的结果是人类认识大自然的知识宝库中的一员，需要公开发表与其他人分享。论文发表的目的有两个，一个是得到更多的同行的检验，看论文中有没有疏漏。一个是希望能够引起更多的同行继续探究的兴趣，从而扩大战果。当然，在论文发表之前，应该尽量减少论文中可能出现的错误，这一方面，审稿人的作用至关重要，可以说起到守门员的作用。这一次，我们证明猜想的论文就得益于反对方的审稿意见，在正式发表的论文中修补了第一稿中的漏洞。在此再次对反对方的审稿人表示感谢。网上有许多介绍如何答复审稿人意见的文章，大呆认为最关键的还是如何有理有据地解决科学问题，只要你的工作在科学或者技术问题上站稳了脚跟，把相关的科学问题说清楚了，论文被接受发表就是自然而然的事情。2017年11月5日论文初稿投稿，2018年11月9日收到编辑的接受函。但是，在我的作者页面显示2018年11月5日编辑做出接受论文发表的决定，时间整整一年，这也算三维伊辛模型精确解研究过程中一个小小的巧合。

真理越辩越明。我们终于迎来了胜利的曙光。

请大家关注：终结猜想-22-对易性定理

参考文献（三维伊辛模型精确解研究三部曲）：

1，提出两个猜想：Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

2，初探数学结构：Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

3，证明四个定理：Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2