精确求解物理模型是了解物理模型描述的物理系统的一个最重要的途径。精确解能够最为精确地描述体系的行为，特别是一些细节之处的函数特征，例如，发散行为、标度率等等。而近似解以及数值模拟往往存在误差的结累和放大效应，失之毫厘差之千里。当然，能够精确求解的物理模型非常之少，如一维伊辛模型、二维伊辛模型、一维哈伯德(Hubbard)模型、六顶角模型、各向异性海森堡自旋链等。由于许多物理模型无法精确求解，为了能够求解更多的模型，物理学家着重分析和总结可以精确求解的模型的数学特征以及其能够求解的条件，以期获得具有启发性的结果。研究发现，可以精确求解的模型均具有可积性，转移矩阵具有对易性。而为了满足这两个关系，通常转移矩阵需要满足一些特定的关系，如在二维伊辛模型满足星-三角关系，在六顶角模型、各向异性海森堡自旋链等中的杨-巴克斯特方程。

杨-巴克斯特（Yang-Baxter）方程中的Yang就是我们华人的骄傲杨振宁先生，在杨先生的学术贡献中排名前三位的工作分别是：Yang-Mills方程、弱相互作用的宇称不守恒、杨-巴克斯特方程。大呆在求解三维伊辛模型精确解的过程中先后与杨先生的几项工作不期而遇。首先是杨先生的二维伊辛模型自发磁化强度的精确解，被杨先生认为是一辈子做过的最困难的问题，杨先生的这篇论文写得非常简明，但是非常难懂，因为论文中常常出现的一句话“很容易得到”，实际上是很不容易，可能需要好几页的公式推导才能得到。我硬着头皮啃杨先生的论文，总算看明白了，然后照猫画虎，给出三维伊辛模型自发磁化强度的精确解。第二项工作是李-杨相变理论，我发现无限大温度满足其相变条件，这导致高温展开无法作为评价我的精确解的标准，也使我在与反对方的辩论中立于不败之地。第三项工作就是杨-巴克斯特方程，它与三维伊辛模型中的对易性有关。第四项工作是杨先生与Mills发展的规范场理论，在我证明猜想的过程中利用了规范变换。大呆尽管与杨先生无缘相见，但是通过拜读杨先生的论文和应用杨先生的工作，从心底里对杨先生的学术成就由衷地敬佩。

杨-巴克斯特方程起源于一个统计力学问题，它要求与四价顶角相联系的一个R矩阵与晶格的行与行转移矩阵对易。在上世纪60年代，杨振宁先生用Bethe Ansatz方法求解带有d函数相互作用的一维量子N体问题和各向异性海森堡自旋链，首先提出了后来学术界所谓的杨-巴克斯特关系。Baxter后来在上世纪70年代在求解六顶角模型是发现了相同的关系式。

因为确保了转移矩阵的对易性和模型的可积性，杨-巴克斯特方程和其变种对精确求解统计力学中的模型非常重要。其原因是一个配分函数中的局域权重通常可以表示成一个杨-巴克斯特矩阵方程的解，且与拓扑学中的第三种Reidemeister移动下的不变性完全吻合。本征值是由满足一个函数矩阵关系的转移矩阵和对易性质一起决定的。

对应格点上的自旋模型，特别是，伊辛模型，杨-巴克斯特关系变成星-三角关系。星-三角关系最初是在电线网络发展而来的，它表示在一个网络中一个星形或一个三角形上排列的三个电阻之间的等价性，也就是著名的U - D变换：

       Onsager注意到星-三角关系以及导致的转移矩阵的对易性，并通过它求解出二维伊辛模型的本征值。Wannier和Houtappel应用星-三角关系确定了三角和蜂窝晶格的居里点。在自然界有许多物理现象，五彩缤纷，绚丽多姿，从表面上看它们之间毫无联系。但是，在深层次有着千丝万缕的瓜葛。在经典电磁学中的电线网络的星-三角关系居然在精确求解量子统计物理中重要的二维伊辛模型的过程起到至关重要的作用。而且，星-三角关系实际上是求解其他物理模型的杨-巴克斯特方程的变种。这其中的关联值得我们仔细探查和深思。其一，一种物理规律或者公式以不同的面貌出现在不同的物理体系中，我们需要通过现象看本质。其二，最原始的往往是最基础的，在经典物理学中的一些物理规律在量子理论中往往能够找到对应物。

当然，在这个例子中，电线网络的星-三角关系还不是最基础的。溯本清源，杨-巴克斯特关系对应于纽结理论中的第三类Reidemeister移动，可以用Artin辫子群的关系描述。一个辫子可以用算符R_i,i+1和它们的逆的乘积表示：

和

  (i - j >= 2)

注意到，杨-巴克斯特关系也反映了一个事实，三体S矩阵可以用两体的贡献描述，因为任何三体的碰撞均可以被视为两体碰撞的连续进行，且碰撞的次序不影响最后的结果。杨-巴克斯特关系对不同的模型有不同的形式。星-三角关系保证了模型的可积性，以及对易的转移矩阵可写成T(u) T(v) – T(v) T(u) = 0。

下面简单地介绍杨-巴克斯特方程与二维伊辛模型转移矩阵的可对易性（也就是可积性）之间的关系。在每个格点上都有一个对应的转移矩阵，为了将相邻两层的两个格点上转移矩阵对换位置，即对易。可以在这两个格点的附近（或者在晶格的边界上，例如体系的最左边）增加一个转移矩阵，三个转移矩阵形成杨-巴克斯特方程的左边，通过杨-巴克斯特关系将这三个矩阵交换顺序（位置），形成杨-巴克斯特方程的右边，从而将原来的两个转移矩阵对易（上、下层的两个转移矩阵对换了位置），同时添加的那个转移矩阵移动到两个格点的另外一边（右边）。这时候，这个添加的转移矩阵又来到下两个格点的转移矩阵的左边，三个转移矩阵又构成杨-巴克斯特方程的左边，通过杨-巴克斯特关系依次重复上面的步骤（有点像多米诺骨牌），可以将上、下两层所有格点上的转移矩阵对换位置，并且将添加的那个转移矩阵移动到晶格的边界的最右边。最后去掉添加的那个转移矩阵，体系的转移矩阵数目没有变化，唯一改变的是上下两层的转移矩阵的位置都发生的改变，上下对换了位置（顺序），也就是说，转移矩阵可以对易。可以如法炮制完成对体系中其他层的转移矩阵的对易操作。杨-巴克斯特方程确保了体系的可对易性，也就是可积性。所以说，杨-巴克斯特方程对精确求解一个物理体系至关重要。

一个纽结或环图通常可以通过一个方向性图以及与2种交叉相联系的2个矩阵解释为一个抽象张量图。任意有方向性的环图可以映射成一个特殊的收缩抽象（contracted abstract）张量T(K)。如果矩阵和  满足渠道单一，跨渠道单一和杨-巴克斯特方程，那么T(K) 即是有方向图K的一个定期同痕不变量。值得指出的是，杨-巴克斯特方程对应于一个III型Reidemeister移动。 可以用来表示入自旋（或电荷）a 和 b与出自旋（或电荷）c 和 d间一个粒子相互作用散射振幅。可以研究量子群SL(2)_q 的表示理论，作为SL (2) 的表示理论。作为杨-巴克斯特方程的一个解的普适R矩阵的结构来源于李代数公式。一个给定的线性变换的特征多项式可以表示为A的矢量空间的外代数的一个关联变换的迹。这个迹可与Alexander多项式的统计力学相联系。所以，可以理解三维伊辛模型的转移矩阵V包含2种贡献：自旋的局域贡献和纽结的非局域效应的贡献。在平滑之后，在新的矩阵中不存在交叉，它不仅包含了非平庸拓扑结构对配分函数的贡献，而且可对角化。由纽结导致的非局域特性意味着需要附加旋转矩阵和附加维度，所以，为了处理在更大的希尔伯特空间中的过程，三维伊辛模型相关的算符产生一个非常大的李代数。

很明显，任何方法（如，低温展开、高温展开、蒙特卡洛方法、重整化群等），仅考虑了局域自旋组态，这对三维伊辛模型不可能是精确的，其原因是在三维伊辛模型中存在全局（拓扑）效应，以至一个自旋的翻转也会敏感地影响很远（甚至无限远）处自旋的排列状态。

当然，杨-巴克斯特方程仅仅适用于讨论二维伊辛模型的对易性问题，三维伊辛模型的对易性问题更加困难，我们需要面对复合杨-巴克斯特方程（四面体方程）。有关四面体方程，且听下回分解。

参考文献（三维伊辛模型精确解研究三部曲）：

1. 提出两个猜想：Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

2. 初探数学结构：Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

   https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

3. 证明四个定理：Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2