“矛盾”与“悖论”是逻辑中二个最基本而又相互纠缠的概念，辨析二者对理解逻辑的基本议题至关重要，比如：悖论可以用于反证法吗？即当推理中出现悖论时，悖论可以当作矛盾来否定前提吗？

我们对比论证“√2不是有理数”的反证法与ZF公理系统消解“罗素悖论”，初步辨析矛盾与悖论的关系。

一，例子1：反证法论证“√2不是有理数”

反证法论证“√2不是有理数”的过程如下：对于待证命题A（“√2不是有理数”），假设反命题¬A（“√2是有理数”）成立，若推出“矛盾”，则假设不成立，原命题A（“√2不是有理数”）为真。

证明：

假设 “√2是有理数”，√2 = p/q，p、q 皆为正整数且互质；

p=√2 ×q，p2=2×q2，p2 是偶数，p也是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数；

设 p=2s，代入p2=2×q2，得：q2=2×s2，q2也是偶数，q也是偶数；

p、q 都是偶数，不互质，这与假设p、q 互质矛盾。

所以，假设“√2是有理数”不成立，因此“√2不是有理数”。

二，例子2: “罗素悖论”与ZF公理系统

根据集合的定义，集合指具有某种性质的事物的总体，于是定义由一切不属于自身的集合所组成的集合R={𝒙：x∉x}，即对任意对象x，x∈R⇔x∉x。因为R本身也是一个对象，令x=R，问：R是否属于R？则得罗素悖论：R∈R⇔R∉R。

数学家们提出消解罗素悖论的一个方案是ZF公理系统，其中分类公理（Axiom schema of specification）重新调整集合的定义：在已知集合A下，定义具有性质P(x)的集合B，B={𝒙：x∈A，P(x)}。

例如，颜色是我们对自然界某一性质的认知，所以可以把“颜色”看做是一个已知集合A，在此集合下，可以定义“红色”：{𝒙 ∊ 颜色，红色(𝒙)}

于是，R={𝒙：x∉x}不能在ZF系统中写成一个集合，在ZF公理系统中避免了罗素悖论。

三，矛盾与悖论，对象性与主体性

例子1推出“矛盾”（contradiction）：A→⊥，A=“√2是有理数”，“矛盾”（⊥）指同时断言命题“p、q 互质”与其否定“p、q 不互质”。此矛盾源于假设A为真，于是通过否定假设A，就可肯定¬A：“√2不是有理数”。所以通过反证法可以消解矛盾。

而例子2推出“悖论”（paradox）：A→（R∈R⇔R∉R），A表示集合R的定义，悖论（R∈R⇔R∉R）指“自我否定”，由于不知悖论具体源于何处，所以不能通过否定集合R来消解罗素悖论，而只能对集合的定义进行反思和调整，如提出的ZF公理系统。

可见，矛盾与悖论都是思维“不一致”的表现。对于“矛盾”，知道错在哪里，基于事实的判断，通过反证法可以消除矛盾。而对于“悖论”，却不知错在哪里，只有对事物进行深入而全面的分析，找到产生悖论的根源，才能消解悖论。

所以，矛盾具有“对象性”，而悖论具有“主体性”，悖论不能当作矛盾用于反证法，。。。

参考文献：

【1】https://zh.wikipedia.org/zh-cn/矛盾

【2】https://baike.baidu.com/item/罗素悖论/633604

【3】矛盾与悖论：http://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1005079.html

【4】图灵与维特根斯坦关于矛盾和悖论的对话 - 第21讲（1939年）：http://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1248627.html