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“矛盾”与“悖论”是逻辑中二个最基本而又相互纠缠的概念,辨析二者对理解逻辑的基本议题至关重要,比如:悖论可以用于反证法吗?即当推理中出现悖论时,悖论可以当作矛盾来否定前提吗?
我们对比论证“√2不是有理数”的反证法与ZF公理系统消解“罗素悖论”,初步辨析矛盾与悖论的关系。
一,例子1:反证法论证“√2不是有理数”
反证法论证“√2不是有理数”的过程如下:对于待证命题A(“√2不是有理数”),假设反命题¬A(“√2是有理数”)成立,若推出“矛盾”,则假设不成立,原命题A(“√2不是有理数”)为真。
证明:
假设 “√2是有理数”,√2 = p/q,p、q 皆为正整数且互质;
p=√2 ×q,p2=2×q2,p2 是偶数,p也是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数;
设 p=2s,代入p2=2×q2,得:q2=2×s2,q2也是偶数,q也是偶数;
p、q 都是偶数,不互质,这与假设p、q 互质矛盾。
所以,假设“√2是有理数”不成立,因此“√2不是有理数”。
二,例子2: “罗素悖论”与ZF公理系统
根据集合的定义,集合指具有某种性质的事物的总体,于是定义由一切不属于自身的集合所组成的集合R={𝒙:x∉x},即对任意对象x,x∈R⇔x∉x。因为R本身也是一个对象,令x=R,问:R是否属于R?则得罗素悖论:R∈R⇔R∉R。
数学家们提出消解罗素悖论的一个方案是ZF公理系统,其中分类公理(Axiom schema of specification)重新调整集合的定义:在已知集合A下,定义具有性质P(x)的集合B,B={𝒙:x∈A,P(x)}。
例如,颜色是我们对自然界某一性质的认知,所以可以把“颜色”看做是一个已知集合A,在此集合下,可以定义“红色”:{𝒙 ∊ 颜色,红色(𝒙)}
于是,R={𝒙:x∉x}不能在ZF系统中写成一个集合,在ZF公理系统中避免了罗素悖论。
三,矛盾与悖论,对象性与主体性
例子1推出“矛盾”(contradiction):A→⊥,A=“√2是有理数”,“矛盾”(⊥)指同时断言命题“p、q 互质”与其否定“p、q 不互质”。此矛盾源于假设A为真,于是通过否定假设A,就可肯定¬A:“√2不是有理数”。所以通过反证法可以消解矛盾。
而例子2推出“悖论”(paradox):A→(R∈R⇔R∉R),A表示集合R的定义,悖论(R∈R⇔R∉R)指“自我否定”,由于不知悖论具体源于何处,所以不能通过否定集合R来消解罗素悖论,而只能对集合的定义进行反思和调整,如提出的ZF公理系统。
可见,矛盾与悖论都是思维“不一致”的表现。对于“矛盾”,知道错在哪里,基于事实的判断,通过反证法可以消除矛盾。而对于“悖论”,却不知错在哪里,只有对事物进行深入而全面的分析,找到产生悖论的根源,才能消解悖论。
所以,矛盾具有“对象性”,而悖论具有“主体性”,悖论不能当作矛盾用于反证法,。。。
参考文献:
【1】https://zh.wikipedia.org/zh-cn/矛盾
【2】https://baike.baidu.com/item/罗素悖论/633604
【3】矛盾与悖论:http://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1005079.html
【4】图灵与维特根斯坦关于矛盾和悖论的对话 - 第21讲(1939年):http://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1248627.html
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