牵引运动坐标系间的变换

中国科学院  力学研究所  吴中祥

                                    提           要

   给出各“质点”粒子牵引运动坐标系间的变换，及其变换的不变性，和物理定律的协变性的普遍规律，具体对于经典物理学（仅限于3维空间）牵引运动坐标系间的变换，就是伽利略变换，及其变换的不变性。

   指出：4维时空1线矢和时空多线矢的有关问题各有不同的特性，将另文具体讨论。

关键词：坐标系，牵引运动，坐标系间的变换

1．牵引运动坐标系间的变换，及其变换的不变性，和物理定律的协变性

   当物体本身的尺度 相对其运动和相互作用时空的尺度，可以忽略，就可处理为“质点”粒子。甚至，各星体那样本身的尺度相当大的物体，在宇宙间的相互作用，也可以当作质点处理。

各“质点”粒子的运动都是相对的，位置、距离，速度、动量，力等矢量，都应，且能，由相应的坐标系确定表达。

任何2个牵引运动的“质点”粒子，由观测坐标系向牵引运动坐标系的变换，是由观测坐标系牵引运动牵引位移矢量，R矢，各方向余弦组成的正交归一矩阵表达，只是惯性的牵引运动才可用牵引速度矢量，V矢，各方向余弦组成的正交归一矩阵表达，而使观测坐标系的任意矢量，A*矢的模长，a*=变换到牵引运动坐标系的相应矢量，A‘矢的模长，a’，即：相应变换前后各该矢量模长不变，有该变换的不变性，以及变换前后物理定律的协变性。

不按相应的变换正确处理“质点”粒子的运动就会出现各种错误。

2．经典物理学牵引运动坐标系间的变换

经典物理学按所谓“绝对时间”观点，认为 时间与参考系无关，仅用3维空间矢量（其各维分量又都是时间的函数）处理各种问题。

(1)3维空间各矢量，及其模长的表达

3维空间任意矢量：

A(3)[1线矢]={Aj[j,1线基矢],j=1到3求和}，其模长：

A(3) =(Aj^2,j=1到3求和)^(1/2)，

[A(3)单位1线矢]={Aj[j,1线基矢],j=1到3求和}

/(Aj^2,j=1到3求和)^(1/2)，

距离（或位置、长度）矢量：

r(3)[1线矢]={rj[j,1线基矢],j=1到3求和}，其模长：

r(3) =(rj^2,j=1到3求和)^(1/2)，

[r(3)单位1线矢]={rj[j,1线基矢],j=1到3求和}

/(rj^2,j=1到3求和)^(1/2)，

距离（或位置、长度）的微分：

dr(3)[1线矢]={drj[j,1线基矢],j=1到3求和}，其模长：

dr(3) =(drj^2,j=1到3求和)^(1/2)，

时间的微分：dt，

距离（或位置、长度）的时间导数=速度：

v(3)[1线矢]=dr(3)/dt[1线矢]={drj/dt[j,1线基矢],j=1到3求和}

={vj[j,1线基矢],j=1到3求和}，

动量：

p(3)[1线矢]=mv(3)[1线矢]=mdr(3)/dt[1线矢]

={mdrj/dt[j,1线基矢],j=1到3求和}

={pj[j,1线基矢],j=1到3求和}，

   运动力=动量的时间导数：量纲是：[M][L][T]^(-2)

f(3)[1线矢]=dp(3)/dt[1线矢]={d(mvj)/dt[j,1线基矢],j=1到3求和}

={fj[j,1线基矢],j=1到3求和}，

偏分(3)[1线矢]={(偏/偏rj)[j,1线基矢],j=1到3求和}，

量纲是：[L]^(-1)

a(标量)的梯度(3)=梯度(3)a(标量)[1线矢]

={(偏a(标量)/偏rj)[j,1线基矢],j=1到3求和}，量纲是：[L]^(-1)

A(3)[1线矢]的散度 =偏分(3)[1线矢]点乘A(3)[1线矢]

={(偏Aj/偏rj),j=1到3求和}，量纲是：A(3)的量纲 乘 [L]^(-1)

A(3)[1线矢]的旋度=偏分(3)[1线矢]叉乘A(3)[1线矢]

={(偏Ak/偏rl-偏Al/偏rk)[j,1线基矢],jkl=123循环求和}，

量纲是：A(3)的量纲乘 [L]^(-1)

离心力：

F离心(3)[1线矢]

=速度v(3)[1线矢]点乘(偏分r(3)[1线矢]叉乘动量p(3)[1线矢])

={vj(偏pk/偏rl-偏pl/偏r可)[j,1线基矢],jkl=123循环求和}，

量纲是：[M][L][T]^(-2)

   质量m1距r(3)处引力势(标量)：量纲是：[L]^2[T]^2

U=km1/r(3)(标量)

m1、m2距r(3)的引力(3)[1线矢]=m1距r(3)处引力势的梯度乘m2：

量纲是：[M][L][T]^(-2)

f引(3)[1线矢]=((km1/r(3))梯度)m2[1线矢]

=km2{(偏(m1/r(3))/偏rj)[j,1线基矢],j=1到3求和}[1线矢]，

k的量纲是：[M]^(-1)[L]^3[T]^2，各维有：

d^2rj/dt^2=g，j=1,2,3，  g是相应条件下，的重力加速度。

其各维的解是圆锥曲线（抛物线、椭圆、或双曲线的一支）或其特例（圆或直线）

各维的动能：

{drj md^2rj/dt^2,从rj1到rj2积分}={mvjdvj,从vj1到vj2积分

=m(vj2^2-vj1^2)/2，

   各维的位能：

{drj mg,从rj1到rj2积分}=mg(rj2-rj1)，

   各维的动能、位能总和守恒。

弹性力：

物体在弹性限度范围内，较小力作用下，弹性力与物体长度成正比：

md^2r(3)/dt^2=kr(3)，k为弹性系数。其解为谐振子。其动能、位能总和守恒。

   电荷q1距r(3)处电势[1线矢]：量纲是：[M][L]^2[T]^2

电势[1线矢]=(q1/r(3))[1线矢]=q1{rj)[j,1线基矢],j=1到3求和}[1线矢]/r(3)，

q1、q2距r(3)的静电力[1线矢]：量纲是：[M][L][T]^2，

q的量纲是：[M]^(1/2)[L]^(3/2)[T]

静电力[1线矢]=(q1q2/r(3)^2)[1线矢]

=q1q2{rj[j,1线基矢],j=1到3求和}[1线矢]/r(3)^2，

q1距r(3)处的电场强度[1线矢]：量纲是：

E(3)[1线矢]={(偏(q1rj/r(3))/偏(ict)-偏(ig0/r(3))/偏(rj))[j,1线基矢],j=1到3求和}，

   q1距r(3)处的磁场强度[1线矢]：量纲是：

H(3)[1线矢]=((q1/r(3))旋度)q2[1线矢]/c

=偏分r(3)[1线矢]叉乘(q1/r(3))[1线矢]/c

={(偏r(3)/偏rj)[j,1线基矢],j=1到3求和}叉乘

q1{rj[j,1线基矢],j=1到3求和}[1线矢]/r(3)

=q1{(偏(rk/r(3))/偏((rl/r(3)))/偏(rk))[j,1线基矢],j=1到3求和}，

静电力[1线矢]、磁力[1线矢]，都可与运动力[1线矢]组成相应的运动方程，解得相应的运动规律。电力能、磁力能总和守恒。

2．3维空间各矢量在各牵引运动系间的变换

对于牵引运动是3维位置矢量：

r(3)^2=r1^2+r2^2+r3^2  

r(3)[1线矢]的各方向余弦：

c1=cos角1=r1/r(3)，s1c2=sin角1cos角2=r2/r(3)，s1s2=sin角1sin角2=r3/r(3)， 解出：

c1=r1/r(3)，s1=r(2)/r(3)，s1c2=r(2)c2/r(3)=r2/r(3)，c2=r2/r(2)，

       s1s2=r(2)s2/r(3)=r3/r(3)，s2=r3/r(2)，

r(2)=(r2^2+r3^2)^(1/2)， r(3)=(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，

由位置r(3)[1线矢]组成的正交归一矩阵：

c1   -s1  0    r1/r(3) -r(2)/r(3)   0

s1c2 c1c2 -s2 = r2/r(3) r1r2/r(2)r(3) -r3/r(2)

s1s2 c1s2 c2   r3/r(3) r1r3/r(2)r(3) r2/r(2)

由速度v(3)[1线矢]组成的正交归一矩阵：

c1   -s1  0    v(3) -v(2)/v(3)   0

s1c2 c1c2 -s2 = v2/v(3) v1v2/v(2)v(3) -v3/v(2)

s1s2 c1s2 c2   v3/v(3) v1v3/v(2)v(3) v2/v(2)

由*到’牵引运动系(牵引运动为位置r(3)[1线矢])：

r’1=r*1r1/r(3)-r*2r(2)/r(3)，

r’2=r*1r2/r(3)+r*2r1r2/(r(2)r(3))-r*3r3/r(2)，

r’3=r*1r3/r(3)+r*2r1r3/(r(2)r(3))+r*3r2/r(2)，伽利略变换。

r‘(3)={r’j^2,j=1到3求和}^(1/2)

={r*j^2,j=1到3求和}^(1/2)=r*(3)，不变性。

dt*/dt’=1, dt/dt’=1,所谓“绝对时间”

v’1=dt*/dt’{v*1r1/r(3)-v*2r(2)/r(3)}

+dt/dt’{(r*1r1-r*2r(2))/r(3)-(r*1r1-r*2r(2))v(3)/r(3)^2}，

v’2=dt*/dt’{v*1r2/r(3)+v*2r1r2/(r(2)r(3))-v*3r3/r(2)}，

+dt/dt’{r*1r2/r(3)-r*1r2v(3)/r(3)^2+r*2(v1r2+r1v2)/(r(2)r(3))

-r*2r1r2(v(2)r(3)+r(2)v(3))/(r(2)r(3))^2-r*3r3/r(2)

+r*3r3v(2)/r(2)^2}，

v’3=dt*/dt’{v*1r3/r(3)+v*2r1r3/(r(2)r(3))+v*3r2/r(2)}，

+dt/dt’{r*1v3/r(3)-r*1r3v(3)/r(3)^2+r*2(v1r3+r1v3)/(r(2)r(3))

-r*2r1r3(v(2)r(3)+r(2)v(3))/(r(2)r(3))^2+r*3r2/r(2)

-r*3r2v(2)/r(2)^2}，

变换随时空改变，有时空弯曲。例如：在地球观察水星近日点进动

由*到’惯性（dv(3)=0）牵引运动系(牵引运动为速度v(3)[1线矢])：

r’1=r*1v1/v(3)-r*2v(2)/v(3)，

r’2=r*1v2/v(3)+r*2v1v2/v(2)v(3)-r*3v3/v(2)，

r’3=r*1v3/v(3)+r*2v1v3/v(2)v(3)+r*3v2/v(2)，

v(2)=(v1^2+v2^2)^(1/2)， v(3)=(v1^2+v2^2+v3^2)^(1/2)，伽利略变换。

r‘(3)={r’j^2,j=1到3求和}^(1/2)

={r*j^2,j=1到3求和}^(1/2)=r*(3)，不变性。

dt*/dt’=1,  dt/dt’=1, 所谓“绝对时间”

v’1*=dt*/dt’{v*1v1/v(3)-v*2v(2)/v(3)}+dt/dt’{0}，

v’2*=dt*/dt’{v*1v2/v(3)+v*2v1v2/v(2)v(3)-v*3v3/v(2)}+dt/dt’{0}，

v’3*=dt*/dt’{v*1v3/v(3)+v*2v1v3/v(2)v(3)+v*3v2/v(2)}+dt/dt’{0}，

   变换不随时空改变，无时空弯曲。

当r*(3)[1线矢]=r(3)[1线矢]

由*到’牵引运动系(牵引运动为位置r(3)[1线矢])：

r’1=r1^2/r(3)-r2r(2)/r(3)，

r’2=r1r2/r(3)+r1r2^2/(r(2)r(3))-r3^2/r(2)，

r’3=r1r3/r(3)+r1r2r3/(r(2)r(3))+r2r3/r(2)，伽利略变换。

r‘(3)={r’j^2,j=1到3求和}^(1/2)

={rj^2,j=1到3求和}^(1/2)=r(3)，不变性。

dt/dt’=1, 所谓“绝对时间”

v’1=dt/dt’{(2r1v1-v2r(2)-r2v(2))/r(3)-(r1^2-r2r(2))v(3)/r(3)^2}，

v’2=dt/dt‘{(v1r2+r1v2)/r(3)-r1r2v(3)/r(3)^2

+(v1r2^2+2r1r2v2)/(r(2)r(3))

-r1r2^2(v(2)r(3)+r(2)v(3))/(r(2)r(3))^2

-2r3v3/r(2)+r3^2v(2)/r(2)^2}，

v’3=dt/dt’{(v1r3+r1v3)/r(3)-r1r3v(3)/r(3)^2

+(v1r2r3+r1v2r3+r1r2v3)/(r(2)r(3))

-r1r2r3(v(2)r(3)+r(2)v(3))/(r(2)r(3))^2

-(v2r3+r2v3/r(2)+r2r3v(2)/r(2)^2}，

  变换随时空改变，有时空弯曲。例如：水星近日点进动

由*到’惯性（dv(3)=0）牵引运动系(牵引运动为速度v(3)[1线矢]，dv(3)/dt=0)：

r’1=r1v1/v(3)-r2v(2)/v(3)，

r’2=r1v2/v(3)+r2v1v2/(v(2)v(3))-r3v3/v(2)，

r’3=r1v3/v(3)+r2v1v3/(v(2)v(3))+r3v2/v(2)，

v(2)=(v1^2+v2^2)^(1/2)， v(3)=(v1^2+v2^2+v3^2)^(1/2)，伽利略变换。

r‘(3)={r’j^2,j=1到3求和}^(1/2)

={rj^2,j=1到3求和}^(1/2)=r(3)，不变性。

dt/dt’=1, 所谓“绝对时间”

v’1=dt/dt’{v1^2/v(3)-v2v(2)/v(3)}，

v’2=dt/dt’{v1v2/v(3)+v1v2^2/(v(2)v(3))-v3^2/v(2)}，

v’3=dt/dt’{v1v3/v(3)+v1v2v3/(v(2)v(3))+v2v3/v(2)}，

变换不随时空改变，无时空弯曲。

  由以上各不同情况，可分别给出，相应牵引运动系的：能量’、动量’、动量矩’等的守恒公式。

3．对于4维时空1线矢和时空多线矢的有关问题

但是，经典物理只是3维空间，质点粒子的速度与光速相比，可以忽略，非惯性系小时空范围内（时空弯曲可以忽略）的近视。

对于，质点粒子的速度与光速相比，不可忽略，非惯性系大时空范围内（时空弯曲不忽）就必须按相对论，处理有关问题。

对于4维时空1线矢惯性牵引运动系，就必须由洛伦兹变换取代伽利略变换，对于非惯性牵引运动系，还须由相应位置1线矢各方向余弦组成的正交归一矩阵表达的变换取代洛伦兹变换，3维矢量的各表达式，也都须修改为4维时空的相应矢量。

对于高次、线多线矢，就都应由相应的矢量和变换取代，而分别有不同的变化规律，将另文具体讨论。