4维时空各维多线矢物理学（4）

(5,3) 一切物体，各种几何特性，统一的，具体的表达式

极坐标：

正交系，2维空间位置(长度、距离)[1线矢]：

按平直坐标，有：

ρ(2)[1线矢]={ρ(2)1[1基矢]+ρ(2)2[2基矢]}，

按2维空间2个位置(长度、距离)[1线矢]点乘，有：

ρ(2)^2=ρ(2)1^2+ρ(2)2^2，即 有：

(ρ(2)1/ρ(2))^2+(ρ(2)2/ρ(2))^2=1，

令：ρ(2)1/ρ(2)=x/a、ρ(2)2/ρ(2)=y/b，即得方程：

(x/a)^2+(y/b)^2=1，即：椭圆，有：

ρ(2)^2=1/{(cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2}

=a^2b^2/{(bcosθ)^2+(asinθ)^2}

=a^2/{cosθ^2+(a/b)^2sinθ^2}，其模长：

ρ(2)=a/{cosθ^2+(a/b)^2sinθ^2}^(1/2)，

就已经表明：必须用到相应的曲线坐标，才能表达！

当其特例，b=a，方程成为：

x^2+y^2=a^2，即：圆，

ρ(2)=a,

正交系，2维时空 [1线矢]：

ρ(2)[1线矢]={iρ(2)0[0基矢]+ρ(2)1[1基矢]}，有：

ρ(2)^2=ρ(2)1^2-ρ(2)0^2，即：

(ρ(2)1/ρ(2))^2-(ρ(2)0/ρ(2))^2=1，

令：ρ(2)1/ρ(2)=x/a、ρ(2)0/ρ(2)=y/b，即得方程：

(x/a)^2-(y/b)^2=1，即：双曲线，有：

ρ(2)^2=1/{(cosθ/a)^2-(sinθ/b)^2}

=a^2b^2/{(bcosθ)^2-(asinθ)^2}

=a^2/{cosθ^2-(a/b)^2sinθ^2}，

ρ(2)=a，

当b=a，方程成为：

ρ(2)=a/{cosθ^2-sinθ^2}^(1/2),

x^2-y^2=a^2，即：

(x+y)(x-y)=a^2，即：交于原点的2条对称的直线，

正交系，4维时空 [1线矢]：

ρ(4)[1线矢]={iρ(4)0[0基矢]+ρ(4)j[j基矢],j=1到3求和}，有：

ρ(4)^2=ρ(4)1^2+ρ(4)2^2+ρ(4)3^2-ρ(4)0^2

=ρ(4)(3)^2-ρ(4)0^2，其中：

(ρ(4)1/ρ(4))^2+(ρ(4)2/ρ(4))^2+(ρ(4)3/ρ(4))^2-(ρ(4)0/ρ(4))^2=1，

令：ρ(4)1/ρ(4)=x1/a1、ρ(4)2/ρ(4)=x2/a2、ρ(4)3/ρ(4)=x3/a3、

ρ(4)0/ρ(4)=x0/a0、ρ(4)(3)/ρ(4)=x(3)/a(3)，即得方程：

(x1/a1)^2+(x2/a2)^2+(x3/a3)^2-(x0/a0)^2=1，

(x(3)/a(3))^2-(x0/a0)^2=1，即：双曲线，

按4维时空2个位置(长度、距离)[1线矢]点乘，有：

ρ(4)^2=1/{(cosθ0sinθ1/a1)^2+(cosθ0cosθ1sinθ2/a2)^2

+(cosθ0cosθ1cosθ2sinθ3/a3)^2-(sinθ0/a0)^2}，

由ρ(4)^2=ρ(4)(3)^2-ρ(4)0^2，简化的表达，有：

ρ(4)^2=1/{(cosθ/a(3)^2-(sinθ/a0)^2}，

=a(3)^2a0^2/{(a(3)cosθ)^2-(a0sinθ)^2}

=a(3)^2/{cosθ^2-(a(3)/a0)^2sinθ^2}，

当其特例，a(3)=a0，方程成为：

ρ(4)=a(3)/{cosθ^2-sinθ^2}^(1/2),

x(3)^2-x0^2=a(3)^2，即：

(x(3)+x0)(x(3)-x0)=a(3)^2，即：交于原点的2条对称的直线，

其3维空间部分：ρ(4)(3)^2=ρ(4)1^2+ρ(4)2^2+ρ(4)3^2，

或当ρ(4)0<<ρ(4)(3)，的经典物理学条件下，就都有：

ρ(4)(3)^2=ρ(4)1^2+ρ(4)2^2+ρ(4)3^2，或

ρ(3)^2=ρ(3)1^2+ρ(3)2^2+ρ(3)3^2，就都成为相应的椭球，其特例为相应的圆球。

按上一节所给的各维积分方法，对正交系、各种仿射系，各种，平直坐标、曲线坐标，的各种正方、锥、台，形的，各种晶体元包，等等的，各维，长度、面积、体积、时空积，都能分别导出各相应的表达式。

按欧拉公式：

e^(iφ)=cosφ+isinφ，e^(-iφ)=cosφ-isinφ，有：

e^(i(r,φ))=r(cosφ+isinφ)，e^(-ir,φ))=r(cosφ-isinφ)，

就可以将，各种，ρ(4)、ρ(4)(3)、ρ (3)，都分别表达为：各相应的，e^(i(r,φ))或e^(-i(r,φ))，

对于，4维时空各维矢算，导出的更高维、次的各多线矢，

也都可类似地导出各相应的极坐标表达式，也都可类似地导出各相应的极坐标表达式，

如此，就能，也才能，给出一切物体，各种几何特性，统一的表达式！

(未完待续)