用发生概率和广义熵同时最大原理推导负指数分布的关键步骤

美国归侨冯向军博士，2017年8月20日写于美丽家乡

（一）关键步骤

对于任何处于平衡态的系统的非均匀概率分布p1，p2，...pn而言，一般说来，均存在自然约束条件、自洽约束条件和系统约束条件，这是现代统计力学和热力学的过去认识模糊且不全面的一个地方。人们只是片面地认识到这三种同时存在的约束条件中的某一种或两种，因此导致以拉格朗日乘数法为基础的种种极值原理普遍存在不自洽和有违统计力学和热力学的根本因果律等重大理论问题。

所谓自然约束条件是指：p1 + p2 + ...+ pn = 1    (1-1)

自然约束条件之所以普遍存在，那是因为一切服从科尔莫哥洛夫概率公理的概率分布均具有规范性的缘故。

所谓自洽约束条件是指：

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数 = n    (1-2)

自洽约束条件之所以在系统的平衡态普遍存在，那是因为一切在平衡态已发生的分布pi=f(xi)（i = 1，2，...，n）不再变化的缘故。

所谓系统约束条件则是指：

p1x1 + p2x2 + ... + pnxn = 常量    (1-3)

系统约束条件就是历史上著名的“变量的统计平均值不变”。之所以系统约束条件在系统平衡态普遍存在，那是因为在系统平衡态位于广义能级x上的粒子数不再变化从而令系统的总广义能量

N(p1x1 + p2x2 + ... + pnxn)（这其中N是系统宏观粒子总数）

不变的缘故。

在自然约束条件、自洽约束条件和系统约束条件下，所谓推导负指数分布f(xi)=aexp(-bxi)，i = 1，2，...，n，就是要在给定约束条件下，根据拉格朗日乘数法选定目标函数，以确保负指数分布f(xi)=aexp(-bxi)即是最值分布或极值分布。由此可见推导负指数分布f(xi)=aexp(-bxi)的关键步骤就是选定目标函数。因为自洽约束条件，为使拉格朗日算子的一阶偏导数为零，最简单的方法就是在目标函数中包含发生概率的对数log(P);因为系统约束条件，为使拉格朗日算子的一阶偏导数为零，最简单的方法就是在目标函数中包含詹尼斯信息熵，于是就有了目标函数T = 发生概率的对数log(P）+ 詹尼斯信息熵。以上就是发明发生概率信息熵同时最大原理的真实过程。

（二）用发生概率信息熵同时最大原理推导负指数分布

对于平衡态负指数分布pi=f(xi)=aexp(-bxi)，i=1，2，...，n

因为：

log(P) + S = -(p1-1)log(p1) -(p2-1)log(p2)-...-(pn-1)log(pn)（目标函数）

p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+pn/f(xn) = 常数 = n （自洽约束条件）    

p1 + p2 +...+pn = 1  （自然约束条件）

又因为：

f(xi) = aexp(-bxi)，i=1，2，...，n

p1x1 + p2x2 +... + pnxn = 常量

所以：

-p1log(f(x1))-p2log(f(x2))-...-pnlog(f(xn)) = 常量  （系统约束条件）

可构造拉格朗日算子

L = -(p1-1)log(p1) -(p2-1)log(p2)-...-(pn-1)log(pn)

+ C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) - C3)

+ C4(-p1log(f(x1))-p2log(f(x2))-...-pnlog(f(xn)) - C5)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = -log(pi) -1 + 1 /pi + C1 + C2/f(xi) - C4log(f(xi))= 0，

i = 1，2，...，n。

当C1 = 1, C2 = -1，C4 = -1，有：

pi = f(xi) = aexp(-bxi)，i = 1，2，...，n。        

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述负指数分布pi =aexp(-bxi)也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数 + 信息熵取得最大值或极大值的概率分布。这种负指数分布pi = aexp(-bxi)符合发生概率和信息熵同时最大原理。