均匀分布是一切有效极值原理的唯一共同极值分布

美国归侨冯向军博士，2017年8月19日写于美丽家乡

（一）均匀分布的特点

(1)均匀分布是现代统计力学和热力学中所有基于拉格朗日乘数法的有效极值原理在且仅在自然约束条件下的唯一共同最值或极值分布。在且仅在自然约束条件下，詹尼斯最大信息熵原理、Tsallis最大广义熵原理、最大发生概率原理、最小平均概率原理【1】、最小现代科学阴符数MSYFN原理【2】以及发生概率与广义熵同时最大原理等等均以均匀分布为唯一共同最值或极值分布。

（2）均匀分布在且仅在自然约束条件下发生，这时自洽约束条件同了自然约束条件。这是因为对于所发生的均匀分布pi = 1/n，i = 1，2，...，n，有自洽约束条件：

p1/(1/n) + p2/(1/n) +...+ pn/(1/n) = n    (1-1)

或

p1 + p2 + ... + pn = 1    (1-2)

（二）用最大发生概率原理推导均匀分布

对于均匀分布pi=f(xi)=1/n，i = 1，2，...,n,目标函数发生概率的对数log(P) = log(p1) + log(p2）+ ... + log( pn)，自洽约束条件和自然约束条件(式(1-2))，最大发生概率原理所对应的拉格朗日算子为

L = log(p1) + log(p2）+ ... + log( pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

令拉格朗日算子L的一阶偏导数dL/dpi等于零，有：

dL/dpi = 1/pi + C1  = 0

pi = -1/C1，i = 1，2，...,n

因为：

p1 + p2 + ... + pn = 1    (1-2)

所以：

pi = 1/n，i = 1，2，...,n。C1 = -n。    （1-3）

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵是一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L的一阶偏导数dL/dpi为零的上述均匀分布pi=1/n也就是令约束条件下发生概率的对数log(P)或发生概率P最大的分布。这种均匀分布pi=1/n符合最大发生概率原理。

（三）均匀分布的物理意义

 万法同归均匀分布，难道是偶然的吗？不是的！均匀分布是大自然、大自在中事物的存在形式：平等遍历两两相互对立的各种广义方向。

参考文献

【1】冯向军，关于平均概率的系统性研究，科学网，2017年6月12日。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1060381.html

【2】冯向军，n元现代科学阴符数(n-ary MSYFN )，科学网，2017年7月8日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1065135.html