无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理符合因果律

美国归侨冯向军博士，2017年8月13日写于美丽家乡

（本文业已基本完成）

【无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理】

克劳修斯熵是可逆过程中平衡态的熵。因为平衡态的熵具有最大值，所以克劳修斯熵就是玻尔兹曼熵的最大值。当我们命：

玻尔兹曼熵变 = 克劳修斯熵变   (1-1)

就等于是命玻尔兹曼熵取最大值。由方程（1-1）式所导出的概率分布就是具有最大玻尔兹曼熵的概率分布。这就是无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理。在无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理基础上，将克劳修斯熵变推广为广义的克劳修斯熵变，又去掉玻尔兹曼熵变中的玻尔兹曼常数，就成就了无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理。

【与“果"分布相对应的广义的克劳修斯熵的一般形式】

与“果"分布f(x)相对应的广义的克劳修斯熵的一般形式是：

广义的克劳修斯熵 = -log(f(x)/a),这其中a是“果”分布系数。(1-2)

对于负指数分布f(x) = aexp(-bx)，

广义的克劳修斯熵 = bx （1-3）

对于玻尔兹曼分布，x=能量E，b=1/(kT）,f(x)=aexp(-E/(kT)）,则有：

广义的克劳修斯熵 = 克劳修斯熵新型式 = E/(kT) (1-4)

广义的克劳修斯熵增 = 克劳修斯熵增新型式 = (E2-E1)/(kT) （1-5）

这其中，k为玻尔兹曼常数，T为温度。

【无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理符合因果律】

假设开放复杂的系统所包含的宏观粒子数为N并达到了平衡态。该系统仅包含2个广义能级E1和E2。E2 > E1。处于广义能级E1的粒子数为n1而处于广义能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时广义系统微观状态总数W满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-6)

广义的玻尔兹曼熵S = log(W)。（1-7）

有：

S = log(N!) - log(n1!) - log(n2!)   (1-8)

考察系统吸收广义能量

deltaE = E2 - E1    (1-9)

因为此原因，系统的广义玻尔兹曼熵从S变到S*，低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有：

S* = log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!) (1-10)

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = log(n1/(n2+1) (1-11)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = log(n1/n2) (1-12)

但是按式(1-2)，对于任何给定的“果”分布f(E)，广义的克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：

deltaSc = -log(f(E2)/a)+log(f(E1)/a)    (1-13)

所谓广义的克劳修斯熵增量deltaSc就是引发系统微观状态数的对数增量或广义的玻尔兹曼熵增的宏观原因。

若把分布pi固定在“果”分布f(Ei)，i = 1，2上，就有:

pi = f(Ei)，i = 1，2。

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = log(n1/n2) = log(p1/p2)

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = log((f(E1)/a)/(f(E2)/a))

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = -log(f(E2)/a)+log(f(E1)/a)

对照式（1-13），就有：

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = 广义的克劳修斯熵增量deltaSc （1-14）

但是满足式（1-14)的分布pi = f(Ei)就是令广义的玻尔兹曼熵最大的最大值分布或广义的玻尔兹曼熵最大的最大值分布或极大值分布。这符合因果律。