（讽刺文艺小品）算术统计平均值不变是最大信息熵原理

为拼凑数据所必须的虚妄相想

美国归侨冯向军博士，2017年8月13日写于美丽故乡

【摘要】克劳修斯熵是可逆过程中平衡态的熵。因为平衡态的熵具有最大值，所以克劳修斯熵就是玻尔兹曼熵的最大值。当我们命：

玻尔兹曼熵变 = 克劳修斯熵变   (1-1)

就等于是命玻尔兹曼熵取最大值。由方程（1-1）式所导出的概率分布就是具有最大玻尔兹曼熵的概率分布。这就是无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理。根据无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理，必有令玻尔兹曼熵取最大值的极大值分布或最大值分布为真实不虚的负指数分布玻尔兹曼分布。于是基于拉格朗日乘数法的假先知假科学极值原理最大信息熵原理就来施展妖术：“天衣无缝”地拼凑数据以迷惑人民大众了。信息熵就是系统宏观粒子总数足够大时的玻尔兹曼熵。既然无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理说：令玻尔兹曼熵取最大值的极大值分布或最大值分布是真实不虚的著名的负指数分布玻尔兹曼分布，那么：“最大信息熵原理的极值分布也必须唯一对应负指数分布才哄骗得了人。不是本妖我不想做得更逼真啊，是本妖我实在没办法啊，谁叫拉格朗日乘数法说：要把极值分布拼凑成负指数分布，对于目标函数信息熵而言，所对应的约束条件必须是哄死人不偿命的鬼都不信的所谓变量的统计平均值为常量呢”。“本妖我可以哄人，但是哄不了本妖我自己啊。本妖我分明知道这一般是违反因果律的。”对于负指数分布pi = f(xi)=aexp(-bxi)而言，所谓变量的统计平均值为常量是指：

p1x1 + ...+pnxn = 常量    （1-2）

其本质是：

-p1log(f(x1)) - p2log(f(x2)) -...-pnlog(f(xn)) = 常量    （1-3）

而实现（1-3）的最简单的方法就是明知违反因果律而为之：为成就“果”分布f(xi),不是把“因”分布pi固定为“果”分布f(xi)，而是把“因”分布pi固定在，一般而言，与“果”分布f(xi)不相同 c/log(1/f(xi))上 。

【附录1】

负指数分布形成的一种可能的真实物理过程

美国归侨冯向军博士，2017年8月10日写于美丽家乡

如下所示的物理系统的玻尔兹曼能量分布的推导过程表明：负指数分布形成的一种可能的真实物理过程恰恰是系统能量的算术统计平均值变化的过程，不过系统能量的算术统计平均值变化得按玻尔兹曼公式引起熵增而已。当年还在神坛上的最大信息熵原理预言：要得到能量的负指数分布，就必须保持能量的算术统计平均值不变。现在看来这是纯粹的胡说巴道。

假设封闭系统其环境温度T恒定，所包含的宏观粒子数为N，并且达到了热平衡态。该系统仅包含2个能级E1和E2。E2 > E1。处于能级E1的粒子数为n1而处于能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时系统微观状态总数W满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-1)

熵S = klog(W)，这其中k为玻尔兹曼常数。（1-2）

有：

S = k(log(N!) - log(n1!) - log(n2!))    (1-3)

这时系统能量的算术统计平均值为：Eavg1 =（n1/N）E1 + （n2/N）E2。    

在温度T不变的前提下，考察系统以可逆过程吸收能量

deltaE = E2 - E1    (1-4)

因为此原因，系统的熵从S变到S*，低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有：

S* = k(log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!)) (1-5)

这时系统能量的算术统计平均值为：

Eavg2 =（(n1-1)/N）E1 + （(n2+1)/N）E2 = Eavg1 + (E2 -E1)/N

系统能量的算术统计平均值Eavg2 >  系统能量的算术统计平均值Eavg1。

正是因为系统能量的算术统计平均值的增加才引起了系统熵增。当系统熵增与微观状态数的变化之间的关系服从玻尔兹曼公式时，系统能量就服从负指数分布。

熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = k(log(n1/(n2+1)) (1-6)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = klog(n1/n2) (1-7)

但是等温可逆过程的熵增量deltaS满足下式：

deltaS = deltaE/T    (1-8)

就有：

n1/n2 = exp(deltaE/(kT))(1-9)

n1/n2 =exp(-(E1 - E2)/(kT))    (1-10)

n1 = aexp(-E1/(kT))    (1-11)

n2 = aexp(-E2/(kT))    (1-12)

a = N/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT))    (1-13)

能量的概率分布pi = ni/N = bexp(-Ei/kT)，i = 1，2    （1-14）

这其中，

b = a/N = 1/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT)) （1-15）

不失一般性，考察n个能级的系统，可得

能量的概率分布pi = ni/N = cexp(-Ei/kT) （1-14）

这其中i = 1，2，...n，而

c = 1/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT)+...+ exp(-En/(kT))）  

须强调的是，我们完全不需要最大信息熵原理外加能量的统计平均值不变的假设也推导出了著名的玻尔兹曼分布这一负指数分布。这是一件值得深思的事。

所谓玻尔兹曼公式的实质是指出：微观粒子状态数的相对变化与系统能量变化成正比，比例系数是1/（kT）。

dW/W = dE/(kT)    (1-14)

只要 （1-14）成立，系统能量的分布就服从负指数分布，与最大信息熵原理外加能量的统计平均值不变的假设毫无关系。后者违反因果律。纯粹是凑数据的虚妄相想，与现实毫无关系。

参考文献

【1】http://www.docin.com/p-1828672305.html

【2】http://www.docin.com/p-500625710.html

【附录2】

深刻揭露最大信息熵原理最喜爱的约束条件的真实面目

美国归侨冯向军博士，2017年8月6日写于美丽家乡

定理：对于最大信息熵原理而言，欲成就分布pi = f(xi)，i = 1，2，...，n，最简便的方法不是道法自然地把pi固定在f(xi)，而是把pi固定在c/log（1/f(xi))，这其中，c为待定常数。这是一个与现实相违背的虚妄相想（欲修成“正果”：pi = f(xi)，却种“邪因”：把pi固定在c/log（1/f(xi))，这无异于梦想煮沙成饭。）而正是依靠这个把pi固定在c/log（1/f(xi))的虚妄相想，最大信息熵原理才得以最简便地决定成就分布pi = f(xi)。话说到这里，最大信息熵原理的本质是正还是邪；是真实还是虚妄已一目了然。

证明：若把分布pi固定在c/log（1/f(xi))，就有

pi = c/log（1/f(xi))，i = 1，2，...，n。    （1-1）

-p1log(f(x1)) -p2log(f(x2)) - ...- pnlog(f(xn)) = 常数 = nc。 （1-2）

对于负指数分布，式（1-2）式等同于著名的“变量的统计平均值为常量”。对于幂律分布，式（1-2）式等同于“变量的对数的统计平均值为常量”或“变量的几何统计平均值为常量”。

命由目标函数信息熵，自然约束条件和（1-2）式所描述的非自然约束条件共同构成的拉格朗日算子为L。有：

L =  -p1log(p1) -p2log(p2)-...-pnlog(pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2( -p1log(f(x1)) -p2log(f(x2)) - ...- pnlog(f(xn))-nc)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = -log(pi) -1  + C1 - C2log(f(xi)) = 0，i = 1，2，...，n。

命：C1 = 1，C2 = -1，就有：

pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。    (1-3)

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵是一主对角线上元素恒负其余元素为零的对称负定矩阵，因此，上述令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的分布pi = f(xi)必定也是令约束条件下信息熵最大的分布，这种分布pi = f(xi)符合最大信息熵原理。这也就是说：对于最大信息熵原理而言，欲成就分布pi = f(xi)，i = 1，2，...，n，最简便的方法不是道法自然地把pi固定在f(xi)，而是把pi固定在c/log（1/f(xi))，这其中，c为待定常数。这是一个与现实相违背的虚妄相想（欲修成“正果”：pi = f(xi)，却种“邪因”：把pi固定在c/log（1/f(xi))，这无异于梦想煮沙成饭。）而正是依靠这个把pi固定在c/log（1/f(xi))的虚妄相想，最大信息熵原理才得以最简便地决定成就分布pi = f(xi)。话说到这里，最大信息熵原理的本质是正还是邪；是真实还是虚妄已一目了然。

证毕。

【举例】

对于最大信息熵原理而言，为成就负指数分布pi =f(xi)= aexp(-bxi)，i = 1，2，...，n，最简便的法子不是道法自然把分布固定在pi = f(xi)= aexp(-bxi)，而是与现实相违背地把分布固定在另一种不同分布（负一次幂律：pi = f1(xi) = c/(-log(a)+ bxi),i = 1，2，...，n）。以下是以4元分布为例的实际计算结果。

上述实际计算结果表明，按最大信息熵原理，种“邪因”（把pi固定在

f1(xi)= c/(-log(a)+ bxi),i = 1，2，3，4），居然能修成“正果”

（成就 pi = f(xi) = aexp(-bxi)）。真正是岂有此理。

【附录3】

最大信息熵原理违背最根本的因果规律

美国归侨冯向军博士，2017年8月9日写于美丽家乡

一般而言，因果关系是复杂的，这是因为有个缘的问题。但是最根本的因果关系或规律却十分简单：100%以果为因必得果，或者说100%以果地觉为因地心必修成正果。在100%以果为因的修为中，果既是因又是缘，因缘具足，所以必得正果。例如把“因”分布pi唯一固定在“果”分布f(xi)上,这种修为就是100%以果为因。按照最根本的因果规律，必须是绝对能够修得正果或以“果”分布f(xi)为最值分布或极值分布才正确。但是除了科学“新皇帝”最大发生概率原理外，包括最大信息熵原理和最大Tsallis广义熵原理在内的一切基于拉格朗日乘数法的其他极值原理在把“因”分布pi唯一固定在“果”分布f(xi)上这种约束条件下，一般而言，居然都不能够以“果”分布f(xi)作为最值分布或极值分布。究其根本原因是因为包括最大信息熵原理和最大Tsallis广义熵原理在内的一切基于拉格朗日乘数法的其他极值原理，其目标函数中均未包含发生概率P的对数log(P)，因而不能为决定极值分布的拉格朗日算子的一阶偏导数贡献概率pi的倒数的线性组合 a + b/pi的缘故。因此，除了科学“新皇帝”最大发生概率原理外，包括最大信息熵原理和最大Tsallis广义熵原理在内的一切基于拉格朗日乘数法的其他极值原理，一般而言，都是违背最根本的因果规律的。所以：包括最大信息熵原理和最大Tsallis广义熵原理在内的一切基于拉格朗日乘数法的其他极值原理，一般而言，都不够资格作为按照因果律来决定概率分布的极值原理。科学“新皇帝”最大发生概率原理则是迄今为止独一无二的够资格作为按照因果律来决定概率分布的极值原理。

【定理】若把“因”分布pi固定为“果”分布f(xi)，一般而言，最大信息熵原理不能把“果”分布f(xi)作为令信息熵最大的最大值分布或极大值分布。

证明：假设把“因”分布pi固定在“果分布”f(xi）上，就有：pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。

又有：

pi/f(xi) = 1,i = 1，2，...，n。   (1-1）

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数 = n   (1-2)

命目标函数T为信息熵，就有：

T = -plog(p1) -p2log(p2) - ...-pnlog(pn)   （1-3）

根据柯尔莫哥洛夫概率的规范性，有：

p1 + p2 + ... + pn = 1   (1-4)

命由目标函数T，（1-2）所表达的自洽约束条件以及(1-4)式所表达的自然约束条件所构成的拉格朗日算子为L，就有：

L = -p1log(p1) -p2log(p2) - ...-pnlog(pn) +

+ C1(p1 + p2 + ... + pn - 1) +

+ C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) - n)

对拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi，并令之为零，就有：

dL/dpi = -log(pi)-1 + C1 + C2/f(xi) = 0，i = 1，2，...，n。

pi = exp(-1+C1)*exp(C2/f(xi))，i = 1，2，...，n。

但是，一般而言：

exp(-1+C1)*exp(C2/f(xi)) 不可能等于f(xi)，i = 1，2，...，n。

因此pi 既然等于exp(-1+C1)*exp(C2/f(xi))，一般而言就不可能等于“果”分布f(xi)。这也就是说：若把“因”分布pi固定为“果”分布f(xi)，一般而言，最大信息熵原理不能把“果”分布f(xi)作为令信息熵最大的最大值分布或极大值分布。

证毕。