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第三只眼看Tsallis分布:根本无须所谓的Tsallis广义熵
美国归侨冯向军博士,2017年8月2日写于美丽家乡
(一)二项分布
考察由n次随机实验所组成的随机现象,它满足以下条件:1)重复进行n次随机实验;2)n次实验相互独立;3)每次实验仅有两个可能结果;4)每次实验中给定事件出现的概率为p,不出现的概率为1-p。假设X表示n次独立重复实验中给定事件出现的次数,显然X是可以取0,1,…,n等n+1个值的离散随机变量。设这n次实验中,每个“给定事件出现k次的结果”为Ek,显然Ek的发生概率为pk(1-p)n-k。因为这样的结果有:n!/k!(n-k)!个,所以按照柯尔莫哥洛夫概率的可加性,这n次实验中,给定事件出现k次的概率
P(X=k) = n!/(k!(n-k)!)pk (1-p)(n-k) (1-1)
(1-1)式就是二项分布的概率分布表达式。
(二)Tsallis分布的一种不完备形式
假设把变量x等分成n个变量片段。当n足够大时,在每个等分变量片段上给定事件要么出现1次,要么不出现。又假设给定事件出现(1次)的概率p与变量片段的长度x/n成正比。有:p = λx/n。按(1-1)式,变量间隔x之内给定事件出现的概率的分布为
P(X = k) = n!/(k!(n-k)!)(λx/n)k (1-λx/n)(n-k) (1-2)
P(X = k) = n!/(nk(n-k)!)(1-λx/n)-k(λx)k/k!(1-λx/n)n
考察给定事件在变量间隔x以后才出现的概率P0(x),并命:(1-q1) = 1/n, q = 2 - q1,就有:
P0(x) = P(X=0) = (1-(1-q1)λx)1/(1-q1) (1-3)
P0(x)就是标准的Tsallis分布。但是在式(1-3)中,q1 = 1 - 1/n,而n为正整数,所以q1还不能象Tsallis分布一样含盖所有不等1的实数。于是我又探索出一条新路来证明我的基本观点是正确的。
(三)再探完美无缺的Tsallis分布的成因
假设把变量x等分成n个变量片段。当n足够大时,在每个等分变量片段上给定事件要么出现1次,要么不出现。又假设给定事件出现(1次)的概率p与变量x及其等分数n成一较为复杂的待定函数关系,有:p = λy(x)/n,这其中y(x)是关于变量x的待定函数。
按(1-1)式,变量间隔x之内给定事件出现的概率的分布为
P(X = k) = n!/(k!(n-k)!)(λy(x)/n)k (1-λy(x)/n)(n-k) (1-5)
P(X = k) = n!/(nk(n-k)!)(1-λy(x)/n)-k(λy(x))k/k!(1-λy(x)/n)n
考察给定事件在变量间隔x以后才出现的概率P0(x),就有:
P0(x) = P(X=0) = (1-λy(x)/n)n (1-5)
当n->无穷大,有:
P0(x) = exp(-λy(x)) (1-6)
下面来确定待定函数y(x)。
命:P0(x) = Tsallis分布 = a(1 - (1-q1)λx)1/(1-q1),就有:
待定函数 y(x) = -1/λlog(a) + 1/(λ*(q1-1))log(1 - (1-q1)λx) (1-7)
这其中,q1为不等1的一切实数。
因此所谓的 Tsallis分布的全部形式,无非就是一种给定事件在变量间隔x以后才出现的基于二项分布的概率P0(x)。对于 Tsallis分布,给定事件在变量片段x/n上出现(1次)的概率p与变量x及其等分数n成一较为复杂的函数关系,p = λy(x)/n,这其中:
y(x) = -1/λlog(a) + 1/(λ*(q1-1))log(1 - (1-q1)λx)。这其中,q1为不等1的一切实数。
我们根本无须所谓Tsallis广义熵也能推导出完美无缺的Tsallis分布。
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