第三只眼看Tsallis分布：根本无须所谓的Tsallis广义熵

美国归侨冯向军博士，2017年8月2日写于美丽家乡

（一）二项分布

 考察由n次随机实验所组成的随机现象，它满足以下条件：1)重复进行n次随机实验；2)n次实验相互独立；3)每次实验仅有两个可能结果；4)每次实验中给定事件出现的概率为p，不出现的概率为1-p。假设X表示n次独立重复实验中给定事件出现的次数，显然X是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量。设这n次实验中，每个“给定事件出现k次的结果”为Ek，显然Ek的发生概率为p^k(1-p)^n-k。因为这样的结果有：n!/k!(n-k)!个，所以按照柯尔莫哥洛夫概率的可加性，这n次实验中，给定事件出现k次的概率

P(X=k) = n!/(k!(n-k)!)p^k (1-p)^(n-k)        (1-1)

（1-1）式就是二项分布的概率分布表达式。

（二）Tsallis分布的一种不完备形式

 假设把变量x等分成n个变量片段。当n足够大时，在每个等分变量片段上给定事件要么出现1次，要么不出现。又假设给定事件出现（1次）的概率p与变量片段的长度x/n成正比。有：p = λx/n。按（1-1）式，变量间隔x之内给定事件出现的概率的分布为

P(X = k) = n!/(k!(n-k)!)(λx/n)^k (1-λx/n)^(n-k)        (1-2)

P（X = k) = n!/(n^k(n-k)!)(1-λx/n)^-k（λx)^k/k!（1-λx/n)ⁿ

考察给定事件在变量间隔x以后才出现的概率P₀(x),并命：（1-q1) = 1/n, q = 2 - q1,就有：

P₀(x) = P(X=0) = (1-(1-q1)λx)^1/(1-q1)    (1-3)

P₀(x)就是标准的Tsallis分布。但是在式（1-3）中，q1 = 1 - 1/n,而n为正整数，所以q1还不能象Tsallis分布一样含盖所有不等1的实数。于是我又探索出一条新路来证明我的基本观点是正确的。

（三）再探完美无缺的Tsallis分布的成因

假设把变量x等分成n个变量片段。当n足够大时，在每个等分变量片段上给定事件要么出现1次，要么不出现。又假设给定事件出现（1次）的概率p与变量x及其等分数n成一较为复杂的待定函数关系，有：p = λy(x)/n,这其中y(x)是关于变量x的待定函数。

 按（1-1）式，变量间隔x之内给定事件出现的概率的分布为

P(X = k) = n!/(k!(n-k)!)(λy(x)/n)^k (1-λy(x)/n)^(n-k)        (1-5)

P（X = k) = n!/(n^k(n-k)!)(1-λy(x)/n)^-k（λy(x))^k/k!（1-λy(x)/n)ⁿ

考察给定事件在变量间隔x以后才出现的概率P₀(x),就有：

P₀(x) = P(X=0) = (1-λy(x)/n)ⁿ    (1-5)

当n->无穷大，有：

P₀(x) = exp(-λy(x))    (1-6)

下面来确定待定函数y(x)。

命：P₀(x) = Tsallis分布 = a(1 - (1-q1)λx)^1/(1-q1)，就有：

待定函数 y(x) = -1/λlog(a) + 1/(λ*(q1-1))log(1 - (1-q1)λx)    (1-7)

这其中，q1为不等1的一切实数。

因此所谓的 Tsallis分布的全部形式，无非就是一种给定事件在变量间隔x以后才出现的基于二项分布的概率P₀(x)。对于 Tsallis分布，给定事件在变量片段x/n上出现（1次）的概率p与变量x及其等分数n成一较为复杂的函数关系，p = λy(x)/n,这其中：

y(x) = -1/λlog(a) + 1/(λ*(q1-1))log(1 - (1-q1)λx)。这其中，q1为不等1的一切实数。

 我们根本无须所谓Tsallis广义熵也能推导出完美无缺的Tsallis分布。