请张学文先生答疑

美国归侨冯向军博士，2017年7月18日写于美丽家乡

 张学文先生：

       您好！

 连日来，我有一个至今仍未释怀的重大疑惑，百思不得其解。今公开发文征求您的意见，也是想一并听取天下其他高人的意见。

 问题: 当概率分布服从变量的统计平均值为常量，概率分布是不是不应该服从负指数分布而只应该服从标准负1次幂分布？

 理由是当概率分布p1，p2，...pn 满足

pi = C/xi , i = 1, 2, ...,n    （1-1）

就有：

pixi = C

p1x1 + p2x2 + ...+pnxn = nC = 常量    (1-2)

既然（1-2）式是“约束条件”或变量的统计平均值为常量是“约束条件”，那么就要“以不变应万变”“管住所有的”，一旦实现了的分布（如（1-1）所示）满足“约束条件”（如（1-2）所示），所有可能的分布都应该服从（1-2）式。

另一方面，当概率分布p1，p2，...pn 满足

pi = aexp(-bxi) , i = 1, 2, ...,n    （1-3）

就有：

piexp(bxi）= a

p1exp(bx1) + p2exp(bx2) + ...+pnexp(bxn) = na = 常量    (1-2)

这也就是说当“约束条件”是变量的统计平均值为常量，概率分布似乎应该且只应该服从标准负1次幂分布而不应该是《组成论》所讲的负指数分布。

难道约束条件反而约束不住实现了的最终分布？？？

心中还有话。暂说这么多。

诚心敬请公开答疑。

此致

  敬礼！

冯向军  

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【备考】与张学文先生的友好交换意见：

张学文先生说：我理解的你热心的二元，即在你认可的函数关系中的自变量仅有两个可能的取值。当我们在考虑连续变量的一般情况时，如果你小心地仅允许自变量取两个可能值。这就是一种对连续函数很粗略的近似。这样做需要很小心。例如你认为这是个连续函数而仅有两个离散值，那么通过这两个点的连续函数理论上有无穷多个。如果你即热心使用负指数，负幂函数这些连续函数。又仅在自变量取两个离散值的情况下分析它，就会出现一些用代数加法代替积分而引起的“怪事”。

冯向军答复：二元离散系统和多元离散系统是客观存在的。二元离散系统和多元离散系统服从幂律或负指数分布也是客观实际。一点都不比连续系统“低人一等”也是100%精确，绝对不是对连续系统的“粗略近似”。例如：

在齐普夫定律（Zipf’s Law）中

令： pi = fi，xi = ri，i = 1，2，...，n
就有：
pi  * xi = C
pi = C / xi
变量本来就是离散的。负1次标准幂律100%精确，绝对不是对连续系统的“粗略近似”。