（修订稿）“行百里者半九十”的确也是负1次幂律但结论

不能推广至n > 2元

美国归侨冯向军博士，2017年7月15日写于美丽家乡（本文业已基本完成）

【摘要】【1】文中业已证明：“行百里者半九十”翻译成科学语言就是说：当变量的统计平均值为常量，变量成负指数分布。本文证明了，“行百里者半九十”也可以翻译成不同的科学语言：当变量的统计平均值为常数，变量成负1次幂律分布。可以证明，对于任意给定的概率分布p1和p2及所对应的变量x1和x2，一般而言，存在非标准负1次幂律分布与之等价，但是这个结论不能推广于n大于2的n元广义系统，这是因为非标准负1次幂律分布的待定常数只有两个的缘故。

【行百里者半九十的科学模型】

假设变量x是指单位行程所对应的的等效距离。那么前90里的变量值为x₁ = 5/9，而后10里的变量值为x₂ = 5。假设柯尔莫哥洛夫概率分布p₁，p₂代表在两个不同的变量值x₁,x₂所含盖的区域内行者实际走过的行程相对于全程的百分比，那么就有：

p₁ = 90 / (90+10）= 9/10 = 90%

p₂ = 10 / (90+10) = 1/10 = 10%

因为前90里的等效距离 + 后10里的等效距离 = 常量 = 100里，所以：

90x₁ + 10x₂ = 常量 = 100里

p1x₁ + p2x₂ = 常量 = 1里

因此行百里者半九十就转化为下述科学问题：

在变量的统计均值为常量的约束条件下，柯尔莫哥洛夫概率分布p₁，p₂服从什么分布？假设p₁，p₂服从负指数分布，就有：

p₁ = aexp(-bx₁)

p₂ = aexp(-bx₂)

可得

p₁/p₂ = exp(-b(x₁-x₂))

b = log (p₁/p₂)/(x₂-x₁) = 0.49437553

a = (p₁ + p₂)/(exp(-bx₁)+exp(-bx₂)) = 1/(exp(-bx₁)+exp(-bx₂)) = 1.184466612

p₁ = 1.184466612*exp(-(0.49437553*5/9))= 0.9

p₂ = 1.184466612*exp(-(0.49437553*5))= 0.1

所以p₁，p₂实实在在地服从负指数分布：

p₁=0.9=aexp(-bx₁)= 1.184466612*exp(-(0.49437553*5/9))

p₂=0.1 =aexp(-bx₂)= 1.184466612*exp(-(0.49437553*5))

又假设p₁，p₂服从负1次幂律分布，就有：

p₁ = a/x₁

p₂ = a/x₂

可得：

a = (p₁ + p₂) / (1/x₁ + 1/x₂) = 1/(9/5 +1/5)= 0.5

p₁ = 0.5x₁^-1 = 0.5 * 9/5 = 0.9

^p₂ ^{= 0.5x}₂^{-1 = 0.5 * 1/5 = 0.1}

可见p₁，p₂也实实在在地服从负1次幂律分布。

我们要问当后10里的等效行程不是“半”（50里）而是60里，70里，80里，90里等时，概率分布p1和p2还能服从负1次幂律分布么？答案是一般而言：p1和p2还能服从负1次非标准幂律分布 1/（a + bx1)和1/（a + bx2)。以下是实际计算结果。

可以证明，对于任意给定的概率分布p1和p2及所对应的变量x1和x2，一般而言，存在负1次非标准幂律分布与之等价，但是这个结论不能推广于n大于2的n元广义系统，这是因为非标准负1次幂律分布的待定常数只有两个的缘故。对于二元分布，有：

对于任意给定的概率分布p1和p2及所对应的变量x1和x2，一般而言，存在负1次非标准幂律分布与之等价：

p1 = 1/(a+bx1)

p2 = 1/(a+bx2)

b = (1/p1 + 1/p2 - n²)/(x1 + x2 - n*(p1x1+p2x2))    (1-1)

a = n - b*(p1x1+p2x2)    (1-2)

这其中n = 2。

上面的表格就是根椐式（1-1）和（1-2）计算出来的。

因为最大发生概率原理在变量的统计均值为常量这个约束条件下，所给出的正是非标准负1次幂律分布，又因为对于任意给定的概率分布p1和p2及所对应的变量x1和x2，一般而言，存在负1次非标准幂律分布与之等价，所以，一般而言，对于二元系统和变量的统计均值不变这个约束条件，最大发生概率原理含盖其他一切有效的极值原理。

参考文献

【1】冯向军，也谈行百里者半九十的表达问题-集合的负指数联系数，科学网，2017年6月29日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1063634.html