图 1  Bilbao Crystallographic Server网站主页

毕尔巴鄂晶体学服务器（http://webbdcrista2.ehu.es/index.html ）网站提供在线应用程序，用于对称性分析、张量性质、磁结构、群-子群关系、结构工具等方面的计算，是一个十分强大的群论分析工具，如图 1所示。在这里，我们来简单介绍一下这个网站的一些在空间群能带表示方面的功能。

一、波矢群波矢群可以用Space-group symmetry模块下的KVEC（The k-vector types and Brillouin zones of Space Groups）判断，如图 2所示。

图 2  Bilbao Crystallographic Server给出的空间群的波矢群G₀(k)

二、空间群的特征标表

空间群的特征标表比较复杂，可以通过Bilbao Crystallographic Server网站查询。下面简单介绍一下用Bilbao Crystallographic Server的Representations and Applications和Double point and space groups查询的空间群不可约表示的步骤。

查询方法：

1)       在单空间群（不考虑自旋轨道耦合），或者双空间群（考虑自旋轨道耦合）网页中输入空间群编号，并选择不可约表示种类。

2)       选择k点。

3)       点击submit后列出这个k点的特征标表。

特征标表的横轴是不可约表示，而纵栏是对称性操作；List of pairs of conjugated irreducible representations部分给出了时间反演对称性的共轭算符。这个网站的相关理论和符号说明可以参考文献：J. Appl. Cryst. (2017).50, 1457-1477 (http://scripts.iucr.org/cgi-bin/paper?S1600576717011712 )。 

三、相容性关系

Bilbao Crystallographic Server网站可以查询空间群的相容性关系。

单空间群：Representations and Applications模块下的的CORREL

双空间群：Representations and Applications模块下的DCOMPREL

输入空间群符号并选择要分析的两个小群符号后就可以得到相容性关系图，如下图所示。

图 3  的Γ点和Δ、Λ、Σ路径之间的相容性关系

四、位群和诱导表示

在Bilbao Crystallographic Server网站中，Topological Quantum Chemistry中的BANDREP模块可以得到在整个布里渊区建立了局域态（局部原子位移）和晶体扩展态（声子、电子等）之间的对称关系。

下面以石墨烯为例说明介绍诱导表示在能带中的应用。石墨烯的两个C原子位置为(1/3, 2/3, 0)，(2/3,1/3,0)，占据P6/mmm (No. 191)的2c位置，其位群为-6m2（D_3h）；查特征表可知，碳原子的p_z轨道是D_3h的的不可约表示的基矢。用BANDREP模块可以判断，其在K点形成一个二维表示的态，在Γ点形成两个一维表示的态，如图 4所示。这表明石墨烯在K点会形成一个简并的能态，即Dirac锥。

图 4  2c位置诱导的不可约表示