对称性是物理学中一个极其重要的概念。在物理学中，我们用群论这一数学工具来揭示物理体系对称性背后所蕴含的深层物理含义。利用群论方法，可以对物理体系的许多性质作出定性的理解，能简化复杂的计算并可以预言物理过程的发展趋向。经过将近一百年的积累和发展，群论的一些术语和符号现在已经成为物理工作者的通用数学语言，并发挥着重要的作用。对于物理学专业的研究生而言，《群论》不仅是攻读硕士学位的必修课程之一，也是他们从事科学研究道路上不可或缺的基础知识。

在正式学习群论之前，我们就这门课的发展历史给大家做个简要的介绍。

0.1 群论的数学起源：一场“抽象化”运动

16 世纪，数学家们成功地用“根式”解决了二次、三次与四次方程的求解问题之后，接着对一元多次方程进行了更加深入的研究。当数学家们试图求解“一元五次方程”的时候，发现无法用“根式”求解。经历数百年的探索，“一元五次方程”的“根式解”问题一直令数学家们头痛不已。

1824年，阿贝尔[1]写下了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，他在该论文中首次完整地给出了“高于四次的一般代数方程”没有一般形式的代数解的证明，解决了数学家们纠结了250多年之久的数学难题。1832年伽罗瓦[2]证明了一般的五次以上一元方程不能用“根式”求解，他用“群论”彻底解决了“根式求解代数方程”的问题，而且由此发展了一整套关于“群”和“域”的理论，人们称之为“伽罗瓦理论”，并把其创造的“群”叫作“伽罗瓦群”。在今天，“伽罗瓦理论”成为了“现代代数”与“数论”的基本支柱之一。伽罗瓦与阿贝尔并称为现代“群论”的创始人。

在此之后，1850年代，英国数学家凯莱（Arthur Cayley）和德国数学家雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）分别研究了置换群的性质，进一步推动了群论的发展。1870至1880年代，德国数学家弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Frobenius）和挪威数学家马里乌斯·索菲斯·李（Marius Sophus Lie）分别对有限群和连续群进行了系统性的研究，为群论的分类和结构理论奠定了基础。在19世纪末和20世纪初，德国的弗罗贝尼乌斯 (Ferdinand Frobenius) 和英国的伯恩赛德 (William Burnside) 独立开创了群的表示理论，而弗罗贝尼乌斯的工作则由他的学生舒尔 (Issai Schur) 所改善和简化。

0.2 群论在物理学中的历史：

群论在物理学中有着十分重要的作用，著名物理学家安德森 (Philip Warren Anderson) 在1977年的诺贝尔奖获奖演讲上曾经说过：“It is only slightly overstating the case to say that physics is the study of symmetry(物理学，究其本质，近乎于对称性的研究)”。著名华裔物理学家李政道也曾经说过：“在所有对智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美的简洁性方面能与对称性原理相比”。在数学家建立了群论的概念体系之后，物理学家在群论方面做了下面三个方面的工作[3]：

1、结晶学的发展

     人们早就认识到宏观世界物质往往都具有对称性，例如花朵、树叶和雪花等。早在17世纪中叶，丹麦地质学家斯蒂诺(Nicolaus Stenno，1638~1686)就发现，任何一种矿物的晶体，两个晶面之间的夹角均为一恒量，这个恒量可以标志这种晶体的特征。这一规律后被称为斯蒂诺定律或结晶学第一定律，它为结晶学的建立奠定了一定的基础。18世纪，法国矿物学家阿维 (René Just Haüy，1743~1822) 受破碎方解石的启发，对晶体的几何规则进行研究，从而推出一个关于晶体结构的完整的理论。这一理论后来常被用于对矿石的分类，以及对晶体热电和压电现象的研究。法国物理学家布拉维(Auguste Bravais, 1811~1863)进一步研究了晶体几何结构，于1848年导出了点阵在晶体空间的14种排列方式。布拉维的研究成果燃起了人们研究晶体外部形态以及内部结构的兴趣。1890年俄国晶体学家费多洛夫 (E. C. Fedorov，1853-1919)，1891年德国晶体学家申夫利斯(A. M. Schönflies，1853~1928)以及1895年英国的巴洛(W. Barlow，1845~1934)等人分别用不同的方法研究了晶体的宏观对称类型。他们根据晶面夹角恒定的规律，对大量的晶体进行了测角与投影工作，将晶体按它们的宏观对称性进行了划分，证实了晶体结构的对称组合方式只有230种，可归并为7个晶系，又用能够反映这些对称性的14种布拉维格子来描述它。他们的工作全面地奠定了晶体结构对称理论的基础。[4]X射线被发现后，劳厄 (Max von Laue)、布拉格父子 (William Henry Bragg, William Lawrence Bragg) 先后利用X射线衍射证实了把晶体结构看成空间点阵的正确性。德国晶体学家赫尔曼（Carl Hermann，1898-1961）和法国晶体学家摩干（Charles Victor Mauguin，1878-1958）在1935年编纂了详细记载空间群的国际晶体学表。

 2、对称性与守恒量、对称性破缺的认识

       对称性在宏观和微观世界中普遍存在，但是如果对群论的认识仅仅停留在描述研究对象的外观和形状，这就太肤浅了。物理学家发现对称性会导致一些物理量的守恒，即连续的对称性和守恒定律的一一对应，即诺特定理（1918年）[5]。诺特定理的基本内容是“物理系统中的任何可微对称性[6]都有相应的守恒定律 ( any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law) ”，即任何一个保持拉格朗日量或者哈密顿量不变的微分算符，都对应一个守恒的物理量，如图 0.1。

图 0.1  物理体系中的对称性与守恒量的关系

诺特定理深刻地揭示了物理学家所钟爱的两大概念——对称性与守恒定律之间的内在联系。这个定理让物理学家洞察力提高了一个台阶，深刻改变了物理研究的范式。在此之前，物理学的发展多依赖于从大量经验中总结出的物理规律，进而构建理论框架。然后，通过对方程的反复变换，寻找一个不变的组合，即守恒量，随后根据方程的不变性反推其背后的对称性。电磁学与狭义相对论的发展历程便是典型的例证。然而，在量子力学与广义相对论的领域里，物理学家们凭借诺特定理，直接从体系所展现的对称性出发，推导出体系的守恒定律，进而得到理论并预言实验现象。这一方法论的革新，无疑为物理学的探索开辟了更为广阔的道路。

事实上，所有的对称原理均基于下述假设：对称性导致某些物理量是不可能观察到的。这些量将被称为“不可观测量”（如表 0. 1所示）；反之，只要某个不可观测量变成可观测量，那么就有对称性的破坏。例如，当我们说左-右对称时，其含义是不可能观测到左与右之间的绝对差别。换句话说，假如能够找到它们之间的绝对差别，那么，我们就有左-右对称性的破坏，或左-右不对称了。[7]

表 0. 1  物理学中的对称性[8]

对称并不是宇宙架构的终极法则，反倒是不对称性或者对称性破缺构筑了宇宙结构的基石。在宇宙大爆炸假说中，130多亿年前大爆炸刚开始时的高温环境中，最初全部四种基本相互作用力的表现都是一样的。但随着宇宙的冷却，对称性发生破缺，也就分离出了具有独特特征的单独的力：强相互作用、弱相互作用、电磁相互作用和万有引力作用。我们现在这个拥有四种力的宇宙，那个优美的源头是对称性破缺的结果。[9]也正是微妙的对称性不守恒，导致了宇宙大爆炸之初生成的物质比反物质略多了一点点，大部分物质与反物质湮灭了，剩余的物质才形成了我们所认识的世界。如果物理定律严格对称，那么星系、地球乃至人类就都没有机会形成了。因此，正是对称性破缺这一宇宙法则的微妙作用，赋予了宇宙无限的可能与生机。

对称性和对称性破缺在凝聚态物理学中有着十分重要的作用。对称性被破坏后，体系会发生相变。朗道相变理论告诉我们相变往往伴随着对称性的破缺，而且不同的相可以用不同的对称性来描述，如表 0. 2所示[10]。在凝聚态物理中最重要和最基本的问题之一是寻找新的物质相，并找到相变之间的关系。

表 0. 2  常见的对称破缺的凝聚态物质系统

 3、群论（尤其是群表示理论）在量子力学中的应用

群论作为代数的一个分支，早在19世纪初就已建立。矩阵和矩阵群的理论也早在19世纪中叶就已提出，李群理论是19世纪80年代提出的。但当时人们都认为群论对其他自然科学没有什么用处，而物理学家对群论则几乎一无所知，当时的大多数物理学家都觉得群论太抽象，也没几个人愿意去学习它。另一方面，在20世纪初量子力学得到了长足的发展[11]，物理学家同时面临了一个亟需解决的问题：如何计算和标记量子态？

我们知道，量子力学有几大特点：(1)量子力学中态是用Hibert空间中一个矢量来描述的，而且不同量子态叠加符合态叠加原理，(2)量子力学中广泛使用算符 (矩阵) 这种数学工具，可观测量都用厄米算符(矩阵)来刻画，(3)常见的有经典对应的力学量，例如动量、角动量、哈密顿量等及相应的守恒定律都和体系的某种对称性变换群的无穷小算符密切相关。这些特点，使得群论（尤其是群表示理论）十分适合于分析量子体系的对称性并标记量子态。

群论被引入到量子力学的标志是对物理感兴趣的数学家外尔[12] (Hermann Weyl)在1928年著《群论和量子力学》和擅长数学的物理学家维格纳[13](E. P. Wigner)在1931年写的《群论及其量子力学和原子光谱中的应用》两篇著作的问世。外尔主要关注基础概念，而维格纳则是要解决具体的物理问题；外尔追求的是美，维格纳追求的是真[14]。但是，对大多数物理学家而言，群论看起来复杂而陌生，这两点加在一起是致命的。与物理学家和数学家共同创立的“微积分”不同，对于物理工作者而言，群论更像是“舶来品”，学习起来较为困难，应用起来也不太顺手。物理学家们被闯入自己领地的群论吓坏了，将群论的发展描述为“群体疾病”（Gruppenpes群瘟）。但是，历史的车轮不会因为不懂群论人的拒绝接受而停滞不前。在此之后，范·德·瓦尔登 (Van der Waerden，1932年著有《量子力学中的群论方法》)、罗伯特·马利肯布[15] (Robert Sanderson Mulliken) 等用群论方法研究了原子和分子结构以及光谱规律。

群论的引入极大地促进了量子理论的发展。没有群论，现代科学的威力会大大减弱，我们的日常生活也会与今天大为不同。但这还不是最重要的，最重要的是我们无法像如今这么深刻地理解自然。

从形象的对称性到抽象的群的表示理论，群论在物理学中实现了一次大的跨越。杨振宁曾经说过：“量子化、对称性和相位因子是20世纪理论物理学的主旋律”。群论这一数学工具把物理学中的这三个旋律交织在一起。目前，群论已经广泛地应用于在以量子力学作为理论基础的近代物理学中，群论的一些术语和符号现在已经成为物理工作者的通用语言，并发挥着重要的作用，已被用来揭示物理体系的对称性所蕴含的深层物理含义。作为一门课程，《群论》是物理系研究生的必修课程。

0.3 本书的特点和结构：

综上所述，群论是物理学家揭示对称性背后所蕴含的深层物理含义的重要数学工具。但是它对学生的数理基础要求较高，所以它也是难度较大的一门课。目前群论的书籍很多（见附录4的参考书目）。这些教材以独特的视角和深邃的见解，成为众多高校研究生课程的指定教材或重要参考书目。但是，它们都会用大量的篇幅介绍群和群表示理论，而物理图像深埋于大量的数学公式中。这些为众多学子筑起了一道难以逾越的门槛，也是导致群论让人望而生畏的原因。此外，先数学后物理的结构安排也不适合初学者和自学者。因此，我们可以在群论的学习中做一些新的尝试。基于以上的原因，作者结合多年的教学和科研经验编写了此教材。此教材在基础性、可读性、前沿性与实用性方面进行了下面的探索：

1.  从形象到抽象的螺旋式内容安排。为了让大家对晦涩难懂的群论知识有基本的认知和心理上的准备，本书前两章不去介绍群的抽象概念，而是从对称性的角度去介绍晶体中的点群和空间群（即物理学中最常遇到的具体群）。有了这些形象的群后，再对群进行抽象化和数学化，而后面群论在物理学中的应用可以进一步加深我们对群论的理解(如图0.2所示)，即呈现螺旋上升式的学习路径。这与传统的群论教材最先讲授群的数学知识不同，这种安排旨在帮助读者逐步建立认知基础，避免直接面对抽象概念时的困惑与挫败感。

   

图0.2  本书的知识结构

2. 简化数学推导过程、强化物理图像构建。在力求保证知识严谨性的同时，本书采用尽量少的数学推导和通俗易懂的语言，将群论的深奥理论娓娓道来。另外，清晰的物理图像和直觉是学习的关键，因此我希望在本书中尽可能给出清晰的物理图像，不要让读者迷失在冗长的公式推导之中。例如，在第三章在介绍群的数学知识的同时，还用群的概念来重新认识前两章学的点群和空间群。第四章的群表示理论，尽量略去了繁琐的定理的证明，而是去用尽可能物理的角度去理解这些概念的含义。最后四章，我们用群论来构建生动的物理应用图景，旨在激发读者对群论的直觉理解。

3. 构建系统化群论知识网络。针对群论中庞杂的知识体系，本书坚持传授系统化的知识框架，摒弃零散信息的堆砌。在每章节的开头或结尾进行知识概览，以及绘制的知识框架图，帮助读者清晰把握各概念间的内在联系，从而轻松构建完整的群论知识网络。另外，本书还尽量囊括群论在物理学中的一些最新进展。

愿此书成为您踏上群论探索之旅的向导，引领您步入精彩的数学和物理殿堂！ 

[1] 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（1802年-1829年），挪威数学家。阿贝尔生平最大的标签，除了天才，就是贫穷。他自己本身很优秀，但找教职一直不顺。阿贝尔27岁死于贫困与疾病，死后收到了柏林大学的聘书，令人唏嘘可惜。

[2] 伽罗瓦(1811-1832)，法国数学家。伽罗瓦被认为是浪漫主义天才的代表。传说他投稿三次，第一次的审稿人是柯西，柯西让他把论文写得好懂一些，他没有听；第二次的审稿人是傅里叶，傅里叶接到稿件不久就去世了；第三次投稿的时候，伽罗瓦本人已经因为决斗去世了（21岁），是他的朋友帮他投的，这次的审稿人是雅克比和高斯，但他们其实没有时间仔细看。后来这个稿件又沉睡多年，在得到了刘维尔的肯定后最终发表。

[3] 本部分的结构框架借鉴于：李新征. 群论及其在凝聚态物理学中的应用[M]. 北京: 北京大学出版社, 2019: 7-8.

[4] 内容参考自：陈毓芳, 邹延肃. 物理学史简明教程[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1994: 352-353.

[5] 艾米·诺特（Emmy Noether，1882-1935年），女，德国数学家。在物理学方面，诺特定理解释了对称性和守恒定律之间的根本联系，她还被称为“现代数学之母”。

[6] 即连续对称性，例如连续的平移和转动等。镜面和反演不属于连续对称性，是离散对称性。

[7] 本段摘自：李政道. 对称与不对称性[M]. 北京: 中信出版集团, 2021: 49-58.

[8] 摘自：冯端, 金国钧. 凝聚态物理学. 上卷[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013: 18.

[9] 摘自：[英]伊恩·斯图尔特. 迷人的对称[M]. 李思尘, 张秉宇, 译. 北京: 中信出版社, 2022: 285-287.

[10] 当然朗道的相变理论并不能解释全部凝聚态物理现象。1980年发现了量子霍尔效应，此时霍尔电阻与磁场不再呈现线性关系，而出现量子化平台，并且对任何的微扰都很鲁棒，不同的平台态之间并没有任何的对称性的破缺，就不能用朗道的对称性破缺理论来解释。这与材料的拓扑性质有关，因此是一种新的物理现象，这种现象可以用拓扑物理来解释，因此其发现者von Klitzing也在1985年获得诺贝尔奖。

[11] 量子力学大事记：1900年，普朗克提出黑体辐射的普朗克公式；1905年，爱因斯坦成功解释光电效应；1913年，玻尔建立起原子的量子理论；1923年，德布罗意提出物质波；1925年泡利提出费米子的泡利不相容原理；1925年，海森堡提出矩阵量子力学；1926年，薛定谔提出薛定谔方程；1927年，海森堡提出测不准原理；1928年狄拉克提出电子的相对论运动方程——狄拉克方程。

[12]赫尔曼·外尔 (1885-1955)，德国数学家、物理学家。他是20世纪上半叶最重要的数学家之一，在数学的许多领域有重大贡献，在相对论和量子力学上的成就也十分突出。

[13]尤金·保罗·维格纳 (Eugene Paul Wigner，1902年—1995年)，美籍匈牙利理论物理学家，因原子核物理和群论的研究获得了1963年的诺贝尔物理奖。

[14] 摘自：[英]伊恩·斯图尔特. 迷人的对称[M]. 李思尘, 张秉宇, 译. 北京: 中信出版社, 2022: 257.

[15]罗伯特·马利肯布 (Robert Sanderson Mulliken，1896-1986)，美国著名化学家、物理学家，美国科学院院士。马利肯布因研究化学键和分子中的电子轨道方面的贡献而获得1966年的诺贝尔化学奖。