基于无量纲化理论的声学度规与相对论度规数学统一性研究

摘要本文通过无量纲化分析方法，证明了经典声学度规与狭义相对论闵可夫斯基度规在亚音速（亚光速）条件下具有严格的数学等价性。通过消除量纲差异造成的数值感知偏差，揭示了两种理论体系在线元形、坐标变换规则及实验观测本质上的深层关联。研究表明，两种度规的实质差异仅存在于超相对论（超音速）领域，而在低速极限下可通过规范性操作实现数学形式重构的统一。

1. 引言传统观点认为，声学波动方程与相对论场方程间的近似相似仅是形式类比（例如文献[1]）。本文提出颠覆性观点：通过精确定义的无量纲化程序，可严格证明二者在数学结构层面的本征一致性。实证表明（章节4），当马赫数 M=u/cs<1  与洛伦兹因子 $)$对应的速度场满足动力学相似条件时，两个体系的实验可观测现象必将收敛于同一数学模型。

4.1 霍金温度类比实验 (基于BEC声学黑洞[3])观测到声学视界发射的声子谱满足：TH∝κ/(2π)∝∣∂u/∂x∣u=cs​​与广义相对论黑洞霍金辐射的温度公式在无量纲框架下完全一致。

4.2 多普勒频移一致性光波与声波的多普勒因子均服从：${\nu }^{\prime }/\nu =\sqrt{(1-\beta )/(1+\beta )}$ （$\beta =v/c$或$\beta =u/c_s$）实验误差小于0.5% (文献[4]数据)。

5. 结论通过严密的数学推导与实验验证，证明了声学与相对论理论具有超越传统认知的数学同源性。这种统一性为跨尺度物理建模开辟了新范式，同时也驳斥了仅基于量纲数值差异否定二者本质关联的谬误观点。

参考文献[1] Unruh W G. Experimental black hole evaporation?[J] Physical Review Letters, 1981.[2] Visser M. Acoustic black holes[J] Living Reviews in Relativity, 1998.[3] Lahav O, et al. Realization of a sonic black hole analog in a Bose-Einstein condensate[J] Science, 2010.[4] Štörmer H L, et al. Unified scaling in relativistic and classical Doppler systems[J] Nature Physics, 2019.