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[笔记，数学文化，悲恸] 一般的三体问题不能严格求解

三体问题： three-body problem

丘奇-图灵论题： The Church-Turing thesis

一、[笔记] 一般的三体问题只能有数值求解

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/11781.html

   一般的三体问题不能严格求解。因而数值解是求解一般三体问题的唯一途径。

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   1887 年，为了祝贺自己的60岁寿诞，瑞典国王奥斯卡二世赞助了一项现金奖励的竞赛，征求太阳系稳定性问题的解答，这是三体问题的一个变种。庞加莱简化了问题，提出了“限制性三体问题”，即三体中其中两体的质量是如此之大，以至于第三体的质量完全不能对其造成任何扰动。面对这个问题，庞加莱运用了他发明的相图理论，并且最终发现了混沌理论。虽然庞加莱没有成功给出一个完整的解答，他还是在1888 年赢得了奖金。裁判之一的卡尔•魏尔斯特拉斯说：“这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答，但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。”现在已知，一般的三体问题不能严格求解。因而数值解是求解一般三体问题的唯一途径。根据庞加莱的理论，这个系统的演变经常是混沌的，意思是说如果初始状态有一个小的扰动，则后来的状态可能会有极大的不同。如果该小变动不能被我们的测量仪器所探测，则我们不能预测最终状态为何。这预示着，数值解将面临数值误差和稳定性的巨大挑战。

图1  三体问题的一个轨道

https://wiki.tfes.org/images/0/08/Three_Body_Problem.jpg

https://wiki.tfes.org/File:Three_Body_Problem.jpg

https://wiki.tfes.org/Three_Body_Problem

二、[感慨] 丘奇-图灵论题与“根号2”

   假如“一般的三体问题”的有用解不能用“公式”表示出，丘奇-图灵论题（The Church-Turing thesis）还正确吗？

   更简单些：

   “根号2”是一种真是的存在吗？

   “根号2”可以用丘奇-图灵论题求解出来吗？

三、[困惑] 实数存在吗？几何曲线存在吗？

   假如“实数、几何曲线”存在，它们能用图灵机计算吗？

参考资料：

[1] Michal Křížek. 张智民译. 数值计算的可靠性[J]. 数学文化, 2015, 6(1): 34-40.

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/11781.html

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/1419.html

[2] 2022-12-23，三体问题/three-body problem/侯锡云，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=131948&Type=bkzyb&SubID=63690

   1887年，H.勃卢恩斯证明三体问题除十个经典积分外不存在其他积分，这终止了绝大多数后续研究者寻找全局分析解的企图，而改为尝试寻找该系统的一些特殊解——周期轨道。

[3] 2023-07-03，三体问题的积分/integral of three-body problem/易照华，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=72469&Type=bkzyb&SubID=87331

[4] Three-body problem. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Three-body_problem

   H. Bruns (1887) proved that the equations of motion of the three-body problem have no other first integrals expressible in terms of algebraic functions of the coordinates and their derivatives. H. Poincaré (1889) further proved that the equations of motion of the three-body problem do not have transcendental integrals expressible in terms of single-valued analytic functions. C. Sundman (1912) found the general solution of the problem in the form of power series in a certain regularizing variable, converging at each instant. However, the Sundman series proved to be completely useless for qualitative investigations as well as for practical computations due to its extremely slow convergence.

   H.Bruns（1887）证明了三体问题的运动方程没有其他第一积分可以用坐标及其导数的代数函数表示。H.Poincaré（1889）进一步证明了三体问题的运动方程不具有用单值解析函数表示的超越积分。C.Sundman（1912）在某个正则化变量中以幂级数的形式找到了问题的一般解，该变量在每一时刻都收敛。然而，由于Sundman级数的收敛速度极慢，它在定性研究和实际计算中被证明是完全无用的。

相关链接：

[1] 2023-12-29，[打听，小资料] “选择公理”与“物理符号系统假设”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1415874.html

[2] 2024-03-31，[小资料] 丘奇-图灵论题（The Church-Turing thesis）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1427697.html

[3] 2024-01-04，[请教，讨论] 什么是超过“图灵机”能力的更强的计算机？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1416691.html

[4] 2018-08-27，科普经典书目推荐：乔治·伽莫夫的《从一到无穷大》

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1131373.html

[5] 2023-07-31，[小汇报] 对我有“冲击力”的几本书（科普、专著）（1）：“P对NP”问题、“反思经典电磁理论”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1397378.html

[6] 2024-01-07，[搜集，小资料] 理论计算机模型的名字

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1417022.html

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